Question

Chưng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0 thì \(A=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) không phải là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Xét \(A-(n^2+n)^2=n^4+2n^3+2n^2+2n+1-(n^2+n)^2\)

\(=n^2+2n+1=(n+1)^2>0\) với mọi số tự nhiên $n$

\(\Rightarrow A> (n^2+n)^2\) (1)

Xét \(A-(n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+2n^2+2n+1-(n^2+n+1)^2\)

\(=n^4+2n^3+2n^2+2n+1-(n^4+2n^3+3n^2+2n+1)\)

\(=-n^2<0\) với mọi số tự nhiên n khác 0

\(\Rightarrow A< (n^2+n+1)^2\) (2)

Từ (1); (2) suy ra \((n^2+n)^2< A< (n^2+n+1)^2\), tức là A bị kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp.

Do đó A không thể là số chính phương.