Với \(k\in N\)
a/ Đặt \(n^2+2n+4=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2+3=k^2\)
\(\Leftrightarrow k^2-\left(n+1\right)^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(k-n-1\right)\left(k+n+1\right)=3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+n+1=3\\k-n-1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=0\)
b/ Trước hết, \(n^2+8n+2020\) là số chính phương
\(\Rightarrow n^2+8n+2020=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+4\right)^2+2004=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(k-n-4\right)\left(k+n+4\right)=2004\)
Do \(\left(k-n-4\right)+\left(k+n+4\right)=2k\) chẵn nên ta chỉ cần xét các cặp ước cùng chẵn của 2004, và \(k+n+4\ge4\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k-n-4=2\\k+n+4=1002\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=496\)
\(\Rightarrow\sqrt{n^2+8n+2020}=502\) ko phải SCP nên ko tồn tại n thỏa mãn
c/ \(n\left(n+1\right)=k^2\)
\(\Leftrightarrow n^2+n=k^2\)
\(\Leftrightarrow4n^2+4n+1=4k^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2-\left(2k\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2n+2k+1\right)\left(2n-2k+1\right)=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+2k+1=1\\2n-2k+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=0\)
