Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ánh Dương

1.Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức \(5x^2+6xy+2y^2+2x+2y-40=0\)

2.Giải phương trình

a) \(x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=1\)

b) \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}=x^2-6x+13\)

3. cho x, y dương thỏa mãn x+y=1, tìm min của biểu thức \(M=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)+5xy\)

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 10 2019 lúc 13:16

2/

a/ ĐKXĐ:...

\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2-2x.\frac{x}{x+1}+\frac{2x^2}{x+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-1=0\)

Đặt \(\frac{x^2}{x+1}=a\Rightarrow a^2+2a-1=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1+\sqrt{2}\\a=-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x^2}{x+1}=-1-\sqrt{2}\\\frac{x^2}{x+1}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+\left(1+\sqrt{2}\right)x+1+\sqrt{2}=0\\x^2-\left(\sqrt{2}-1\right)x+1-\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

Xấu quá, bạn tự giải tay pt bậc 2 này đi

b/ ĐKXĐ: \(-2\le x\le6\)

\(VT=\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(6-x+x+2\right)}=4\)

\(VP=\left(x-3\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow VT\le VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}6-x=x+2\\x-3=0\end{matrix}\right.\)

Phương trình vô nghiệm

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 10 2019 lúc 13:22

1/

\(\Leftrightarrow5x^2+2\left(3y+1\right)x+2y^2+2y-40=0\) (1)

\(\Delta'=\left(3y+1\right)^2-5\left(2y^2+2y-40\right)\)

\(=-y^2-4y+201=205-\left(y+2\right)^2\)

Để phương trình có nghiệm nguyên \(\Leftrightarrow\Delta'\) là số chính phương

\(\Rightarrow205-\left(y+2\right)^2=k^2\)

\(\Rightarrow k^2+\left(y+2\right)^2=205=3^2+14^2=6^2+13^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=\pm3\\y+2=\pm14\\y+2=\pm6\\y+2=\pm13\end{matrix}\right.\)

Thay ngược lại (1) tìm x

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 10 2019 lúc 13:10

3/ \(M=\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}+5xy=\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}+5xy\)

\(=\frac{xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}+5xy=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}+5xy\)

\(=\frac{xy+x+y+1}{xy}+5xy=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}+5xy\)

\(=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{11}{16xy}+\frac{5}{16xy}+5xy\)

\(\Rightarrow M\ge1+\frac{4}{x+y}+\frac{11}{4\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{25xy}{16xy}}\)

\(\Rightarrow M\ge1+4+\frac{11}{4}+\frac{5}{2}=\frac{41}{4}\)

\(M_{min}=\frac{41}{4}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
sunsies
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Diệu
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
NGuyễn Văn Tuấn
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Herera Scobion
Xem chi tiết
Vũ Sơn Tùng
Xem chi tiết