1.Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức \(5x^2+6xy+2y^2+2x+2y-40=0\)
2.Giải phương trình
a) \(x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=1\)
b) \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}=x^2-6x+13\)
3. cho x, y dương thỏa mãn x+y=1, tìm min của biểu thức \(M=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)+5xy\)
2/
a/ ĐKXĐ:...
\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2-2x.\frac{x}{x+1}+\frac{2x^2}{x+1}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-1=0\)
Đặt \(\frac{x^2}{x+1}=a\Rightarrow a^2+2a-1=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1+\sqrt{2}\\a=-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x^2}{x+1}=-1-\sqrt{2}\\\frac{x^2}{x+1}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+\left(1+\sqrt{2}\right)x+1+\sqrt{2}=0\\x^2-\left(\sqrt{2}-1\right)x+1-\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)
Xấu quá, bạn tự giải tay pt bậc 2 này đi
b/ ĐKXĐ: \(-2\le x\le6\)
\(VT=\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(6-x+x+2\right)}=4\)
\(VP=\left(x-3\right)^2+4\ge4\)
\(\Rightarrow VT\le VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}6-x=x+2\\x-3=0\end{matrix}\right.\)
Phương trình vô nghiệm
1/
\(\Leftrightarrow5x^2+2\left(3y+1\right)x+2y^2+2y-40=0\) (1)
\(\Delta'=\left(3y+1\right)^2-5\left(2y^2+2y-40\right)\)
\(=-y^2-4y+201=205-\left(y+2\right)^2\)
Để phương trình có nghiệm nguyên \(\Leftrightarrow\Delta'\) là số chính phương
\(\Rightarrow205-\left(y+2\right)^2=k^2\)
\(\Rightarrow k^2+\left(y+2\right)^2=205=3^2+14^2=6^2+13^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=\pm3\\y+2=\pm14\\y+2=\pm6\\y+2=\pm13\end{matrix}\right.\)
Thay ngược lại (1) tìm x
3/ \(M=\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}+5xy=\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}+5xy\)
\(=\frac{xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}+5xy=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}+5xy\)
\(=\frac{xy+x+y+1}{xy}+5xy=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}+5xy\)
\(=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{11}{16xy}+\frac{5}{16xy}+5xy\)
\(\Rightarrow M\ge1+\frac{4}{x+y}+\frac{11}{4\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{25xy}{16xy}}\)
\(\Rightarrow M\ge1+4+\frac{11}{4}+\frac{5}{2}=\frac{41}{4}\)
\(M_{min}=\frac{41}{4}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
