a) Nếu \(3^n+55\) là một số chính phương thì
\(3^n+55=a^2\) ( a là số tự nhiên )
\(\Leftrightarrow3^n+64-9=a^2\) \(\Leftrightarrow3^n+8^2=a^2+9\)
do a, n là số tự nhiên nên
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}3^n=a^2\\8^2=9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}3^n=9\\a^2=8^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
dễ thấy ngoặc đầu loại, do đó từ ngoặc thứ hai ta có n = 2 và a = 8
thay lại thấy thỏa mãn vậy n = 2 và n = 8
b) Do a + 1 và 2a + 1 là hai số chính phương nên
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1=n^2\\2a+1=m^2\end{matrix}\right.\)
Giả sử a không chia hết cho 3 nên a có dạng
\(\left[{}\begin{matrix}a=3k+1\\a=3k+2\end{matrix}\right.\)
*nếu a = 3k + 1 thì a + 1 = 3k + 2 = n2 mà n2 là một số chính phương nên chia cho 3 không thể dư 2 = > loại
* nếu a = 3k + 2 thì 2a + 1 =6k + 5 = 3(2k+1) +2 = m2 => loại trường hợp này
vậy điều giả sử là sai => a chia hết 3
Ta đi chứng minh a chia hết cho 8
Ta có : 2a + 1 = m2 ; do 2a + 1 là một số lẻ nên m lẻ
=> m = 2k +1 ( k thuộc N) => 2a+1 = (2k+1)2
=> \(2a+1=4k^2+4k+1\Rightarrow a=2k\left(k+1\right)\) vậy a là số chẵn
=> a=2q => a+1=2q+1 \(\Rightarrow a+1=\left(2q+1\right)^2\) \(\Leftrightarrow a+1=4q^2+4q+1\Leftrightarrow a=4q\left(q+1\right)\)
do q là số tự nhiên nên q và q+1 là hai số tự nhiên liên tiếp vậy
\(\Rightarrow q\left(q+1\right)⋮2\Rightarrow4q\left(q+1\right)⋮8\Rightarrow a⋮8\)
vậy \(a⋮8\) mà \(\left(3,8\right)=1\) nên \(a⋮24\)
c) phương trình tương đương
\(4x^4+4x^2+4=4y^2\) \(\Leftrightarrow4y^2-\left(4x^4+4x^2+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow4y^2-\left(2x^2+1\right)^2=3\) \(\Leftrightarrow\left(2y-2x^2-1\right)\left(2y+2x^2+1\right)=3\)
do \(2y+2x^2+1>2y-2x^2-1\) nên chỉ xảy ra hai trường hợp
\(\left\{{}\begin{matrix}2y+2x^2+1=3\\2y-2x^2-1=1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}2y+2x^2+1=-1\\2y-2x^2-1=-3\end{matrix}\right.\)
đến đây thì ez rồi
b)
2a+1 là một số chính phương lẻ
=> 2a+1 chia 8 dư 1
\(\Rightarrow2a⋮8\\ \Rightarrow a⋮4\\ \Rightarrow a⋮2\\ \)
=> a+1 là số chính phương lẻ => a chia 8 dư 1
\(\Rightarrow a⋮8\)
Xét tổng : (a+1)+(2a+1) =3a+2
Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1chia3du0;1\\2a+1chia3du0;1\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow a+1;2a+1chia3du1\\ \Rightarrow a⋮3\)
(3;8)=1 => a chia hết 24
d) Nếu \(y=0\) thì \(x=1\)
Nếu \(y\ge1\) thì thì \(2^x\equiv1\left(mod3\right)\)
mà \(2^x=\left(3-1\right)^x=BS3\pm1\) (BS là bội số)
\(2^x=BS3+1\) khi x chẵn \(\Rightarrow x=2x_1\)
\(\Rightarrow2^{2x_1}-1=3^y\)\(\Leftrightarrow\left(2^{x_1}-1\right)\left(2^{x_1}+1\right)=3^y\)
vì \(2^{x_1}-1\) và \(2^{x_2}+1\) không có số nào chia hết cho 3
mà \(2^{x_1}-1< 2^{x_1}+1\) nên \(2^{x_1}-1=1\) và \(2^{x_1}+1=3^y\)
\(\Rightarrow x_1=1\Rightarrow x=2\)\(\Rightarrow y=1\)
Vậy phương trình có hai nghiệm
\(\left(x,y\right)=\left\{\left(2;1\right);\left(1;0\right)\right\}\)
