đề 2
bài 1:
a) tính \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}\)
b) giải phương trình :\(\sqrt{x-4}=4-x\)
câu 2:
cho phương trình bậc 2 ẩn x: x2 -2mx+2m-1=0
a) chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b)đặt A=2(x12+x22)-5x1x2
+chứng minh A= 8m2-18m+9
+tìm m sao cho A=27
c)tìm m sao cho phương trình có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia
Bài 1:
a)Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)
\(=\frac{2}{(\sqrt{3})^2-1^2}=\frac{2}{3-1}=1\)
b) \(\sqrt{x-4}=4-x\)
ĐKXĐ: \(x\geq 4\)
PT tương đương: \(\sqrt{x-4}+(x-4)=0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-4}(1+\sqrt{x-4})=0\)
Vì \(\sqrt{x-4}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x-4}+1\geq 1\Rightarrow \sqrt{x-4}+1\neq 0\)
Do đó: \(\sqrt{x-4}=0\Leftrightarrow x=4\) (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy $x=4$
Bài 2:
a)
Ta có: \(\Delta'=m^2-(2m-1)=(m-1)^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó PT luôn luôn có nghiệm với mọi $m$
b)
Áp dụng định lý Viete đối với phương trình bậc 2:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.(*)\)
Khi đó: \(A=2(x_1^2+x_2^2)-5x_1x_2=2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-5x_1x_2\)
\(A=2(x_1+x_2)^2-9x_1x_2\)
\(A=2(2m)^2-9(2m-1)=8m^2-18m+9\)
Ta có đpcm.
Với \(A=27\Leftrightarrow 8m^2-18m+9=27\)
\(\Leftrightarrow 8m^2-18m-18=0\)
\(\Leftrightarrow 4m^2-9m-9=0\Leftrightarrow (m-3)(4m+3)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=3\\ m=\frac{-3}{4}\end{matrix}\right.\)
c)
Không mất tính tổng quát giả sử \(x_1=2x_2\). Khi đó:
\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_2+x_2=2m\\ 2x_2^2=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x_2=2m\\ 2x_2^2=2m-1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\left(\frac{2m}{3}\right)^2=2m-1\)
\(\Leftrightarrow 8m^2-18m+9=0\)
\((2m-3)(4m-3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{3}{2}\\ m=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
