Lời giải:

Ta có:

$6x^2y^3+3x^2-10y^3=-2$

$\Leftrightarrow 2y^3(3x^2-5)+(3x^2-5)=-7$

$\Leftrightarrow (2y^3+1)(3x^2-5)=-7$

Vì $x,y$ nguyên nên $2y^3+1; 3x^2-5$ cũng đều nhận giá trị nguyên.

Đến đây ta xét các TH:

TH1: $2y^3+1=-1; 3x^2-5=7$

TH2: $2y^3+1=1; 3x^2-5=-7$

TH3: $2y^3+1=-7; 3x^2-5=1$

TH4: $2y^3+1=7; 3x^2-5=-1$

Giải lần lượt các TH ta được $x=\pm 2; y=-1$

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-2\right)=\left(y+1\right)^2\)

\(3\left(x^2-2\right)⋮3\Rightarrow y+1⋮3\Rightarrow\left(y+1\right)^2⋮9\)

\(\Rightarrow x^2-2⋮3\) (vô lý do \(x^2\) chia 3 luôn dư 0 hoặc 1)

Vậy pt đã cho vô nghiệm

Ta có:  

x² + 2y² + 3xy + 3x + 5y = 15

<=> x² + 2y² + 3xy + 3x + 5y + 2 = 17

<=> (x² + xy + 2x) + (2xy + 2y² + 4y) + (x + y + 2) = 17

<=> (x + y + 2)(x + 2y + 1) = 17

=> (x + y + 2, x + 2y + 1) = (1,17; 17,1; - 1,-17; -17,-1)

Giải ra là tìm được x,y nhé

VeryVery good.Thanks. I will give 1  for you.Love

tìm nghiệm phải đặt bt = 0

3x² + y² + 2x - 2y = 1

\(\Leftrightarrow\)3x² + y² + 2x - 2y - 1 = 0

\(\Leftrightarrow\)2x( x+ 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - y( y - 1 ) = 0

\(\Leftrightarrow\)( x + 1 ) ( 3x + 1 ) - y( y - 1 ) = 0

\(\orbr{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(3x+1\right)=0\\y\left(y-1\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=-1\\x=-\frac{1}{3}\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}y=0\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)

Ta có : \(2x^2+y^2+3xy+3x+2y+2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+y\left(3x+2\right)+2x^2+3x+2=0\)

Nhận thấy pt trên là phương trình bậc hai ẩn y  . Do đó ta xét 

\(\Delta=\left(3x+2\right)^2-4\left(2x^2+3x+2\right)=x^2-4\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Rightarrow x^2-4\ge0\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le-2\end{array}\right.\)

Mà x,y là nghiệm nguyên của pt nên \(x^2-4\) là bình phương của một số hữu tỉ , đặt \(x^2-4=k^2\Rightarrow\left(x-k\right)\left(x+k\right)=4\) . Ta luôn có x + k > x - k với k > 0 

Xét các trường hợp với x-k và x+k là các số nguyên được 

\(\begin{cases}x=2\\k=0\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=-2\\k=0\end{cases}\)

Suy ra được : \(\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=2\\y=-4\end{cases}\)

2x² + y² + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

<=> 8x² + 4y² + 12xy + 12x + 8y + 8 = 0

<=> (4y² + 12xy + 9x²) + 4(3x + 2y) + 4 - x² + 4 = 0

<=> (3x + 2y + 2)² - x² = -4

<=> (3x + 2y + 2 - x)(3x + 2y + 2 + x) = -4

<=> (2x + 2y + 2)(4x + 2y + 2) = -4

<=> (x + y + 1)(2x + y + 1) = -1

Xét các TH xảy ra <=>

\(\hept{\begin{cases}x+y+1=1\\2x+y+1=-1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x+y+1=-1\\2x+y+1=1\end{cases}}\)

(tự tính)

Ta có: \(2x^2+y^2+3xy+3x+2y+2=0\)

    \(\Leftrightarrow y^2+y.\left(3x+2\right)+2x^2+3x+2=0\)

Nhận thấy pt trên là phương trình bậc hai ẩn y. Do đó ta xét :

    \(\Delta=\left(3x+2\right)^2-4\left(2x^2+3x+2\right)=x^2-4\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)\(\Rightarrow\)\(x^2-4\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\)

Mà x,y là nghiệm nguyên của pt nên \(x^2-4\) là bình phương của một số hữu tỉ 

Đặt \(x^2-4=k^2\)\(\Rightarrow\)\(\left(x-k\right).\left(x+k\right)=4\)

Ta luôn có \(x+k>x-k\) với \(k>0\)

Xét các trường hợp với \(x-k\)và \(x+k\)là các số nguyên được 

\(\hept{\begin{cases}x=2\\k=0\end{cases}}\)và  \(\hept{\begin{cases}x=-2\\k=0\end{cases}}\)

Suy ra được \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}}\)và  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=-4\end{cases}}\)

Học tốt

2x² + y² + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

<=> 16x² + 8y² + 24xy + 24x + 16y + 16 = 0

<=> ( 4x )² + 24x ( y + 1 ) + 8y² + 16y + 16 = 0

<=> ( 4x )² + 24x ( y + 1 ) + [ 3( y + 1 ) ]² - [ 3( y + 1 ) ]² + 8y² + 16y + 16 = 0

<=> ( 4x + 3y + 3 )² - 9y² - 18y - 9 + 8y² + 16y + 16 = 0

<=> ( 4x + 3y + 3 )² - ( y + 1 )² = - 8

<=> ( y + 1 )² - ( 4x + 3y + 3 )² = 8

<=> 4 ( x + y + 4 ) . ( - 2 ) ( 2x + y + 2)  = 8

<=> ( x + y + 4 ) ( 2x + y + 1 ) = - 1

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+4=1\\2x+y+1=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x+y+4=-1\\2x+y+1=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=-4\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}}\)