Xét 2 trường hợp:

TH₁  : Nếu x,y trái dấu \(\Rightarrow xy< 0\Rightarrow P=1-xy>1\)

TH₂: Nếu x,y cùng dấu \(\Rightarrow\)xy\(\ge0\)  \(\Rightarrow\)có 2 trường hợp xảy ra:

* Nếu xy=0\(\Rightarrow P=1-xy=1\)

* Nếu xy\(\ne0\Rightarrow\) \(xy>0\) 

Áp dụng bđt Cô-si : \(2x^{1006}y^{1006}=x^{2013}+y^{2013}\ge2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\le1\Rightarrow xy\le1\)

\(\Rightarrow-xy\ge-1\) \(\Rightarrow P=1-xy\ge1-1=0\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy gtnn của P=0 \(\Leftrightarrow x=y=1\)

=> [x^2013+y^2013]^2 = 4.x^2012.y^2012

[x^2013+y^2013]^2 \(\ge\)4.x^2013.y^2013= >4.x^2012.y^2012\(\ge\)4.x^2013.y^2013 => 1 \(\ge\) xy => 1-xy \(\ge\) 0

Dấu bằng xảy ra khi x=y= 1

Vậy min 1-xy = 0 khi x=y=1

\(P=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+2x^2y^2\)

\(=2x^2y^2-3xy+1=2t^2-3t+\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\) (đặt t = xy \(\Rightarrow t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\))

\(=\frac{1}{8}\left(4t-1\right)\left(4t-5\right)+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{8}\)

Do đó \(P\ge\frac{3}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\t=\frac{1}{4}\\x=y\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

True?

Em không hiểu ctv giải dòng suy ra T ạ

๖ۣۜBFK_Quân Nguyễn~ đó là BĐT phụ nhé bạn:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow4xy\le\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( đúng )

Đó,mình chứng minh đó nhé !

- Với \(xy=0\Rightarrow P=1\)

- Với \(xy\ne0\):

Bình phương giả thiết:

\(4x^{2012}y^{2012}=\left(x^{2013}+y^{2013}\right)^2\ge4x^{2013}y^{2013}\)

\(\Rightarrow4x^{2012}y^{2012}\left(1-xy\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-xy\ge0\)

\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(x=y=1\)