a) Xét ∆ vuông DCB và ∆ vuông EBC ta có : 

BC chung 

ABC = ACB ( ∆ABC đều )

=> ∆DCB = ∆EBC ( ch-gn)

b) Gọi giao điểm AH và BC là K

Vì ∆DCB = ∆EBC (cmt)

=> DB = EC 

Xét ∆ vuông DHB và ∆ vuông EHC ta có : 

DB = EC (cmt)

DHB = EHC ( đối đỉnh)

=> ∆DHB = ∆EHC (cgv-gn)

Vì DB = EC 

AB = AC ( ∆ABC đều )

=> AD = AE 

=> ∆ADE cân tại A 

Xét ∆AHD và ∆AHE có : 

AH chung 

ADE = AED ( ∆ADE cân tại A )

AD = AE 

=> ∆AHD = ∆AHE (c.g.c)

=> DAH = EAH 

Hay AH là phân giác DAE 

Mà ∆ADE cân tại A(cmt)

=> AH là trung trực DE 

=> AH là trung trực BC 

d) Vì ∆ABC đều 

=> ABC = ACB = BAC = 60° 

Vì ∆ADE cân tại A 

Mà BAC = 60° 

=> ∆ADE đều 

=> ADE = AED = DAE = 60° 

Ta có : 

ADE + EDC = 90° 

=> EDC = 90° - 60° = 30° 

Mà DC//BI 

=> EDC = CBI = 30° ( đồng vị )

Mà ACB + BCI = 180° ( kề bù)

=> BCI = 180° - 60° = 120° 

Xét ∆BCI có : 

CBI + BIC + ICB = 180° 

=> BIC = 180° - 120° - 30° = 30° 

=> CBI = CIB = 30° 

=> ∆BCI cân tại C 

Mà DC//BI 

=> ADC = DBI = 90° 

Hay ∆ABI vuông tại B

a/ Xét hai tg vuông BCD và CBE có

^ABC=^ACB (ABC là tg đầu)

BC chung

=> tg BCD=tg CBE (theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

b/ 

Ta có tg BCD=tg CBE (cmt) => ^HBC=^HCB (Tương ứng cùng phụ với góc ^ACB=^ACB)

=> tg BHC cân => HB=HC

Xét hai tg vuông HDB và CHE có

HB=HC (cmt)

^BHD=^CHE (đối đỉnh)

=> tg HDB=tg CHE (theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

c/ Xét tam giác ABC có

BE, CD là đường cao => BE và CD cũng là trung trực (trong tam giác đều đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đường trung trực)

=> H là giao của 3 đường trung trực => AH là trung trực của BC (Trong tam giác 3 đường trung trực đồng quy)

d/ Xét tam giác ABC có

CD là phân giác của ^ACB (trong tg đều đường cao đồng thời là đường phân giác)

=> ^ACD=^BCD (1)

CD//BI => ^BCD=^CBI (góc so le trong) (2)

và ^ACD=^BIC (Góc đồng vị) (3)

Từ (1) (2) (3) => ^CBI=^BIC => tg BCI cân tại C (có 2 góc ở đáy bằng nhau)

+ Ta có CD vuông góc AB

CD//BI

=> BI vuông góc AB => tg ABI vuông tại B

d) △ABC đều có: CD là đường cao \(\Rightarrow\)CD cũng là phân giác.

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{ACD}\).

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BCD}=\widehat{IBC}\\\widehat{ACD}=\widehat{CIB}\end{matrix}\right.\) (DC//BI)

\(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{CIB}\)

\(\Rightarrow\)△BCI cân tại C.

mình mới nghĩ được đến đây, rất xin lỗi bạn, vẫn còn ý đầu của câu d, nếu mình nghĩ ra sẽ làm giúp bạn nha

giupspp toi zưiiii

Bài làm

b) Xét tam giác HAP có:

Q là trung điểm BH

P là trung điểm AH

=> QP là đường trung bình

=> QP // AB 

=> \(\widehat{HQP}=\widehat{QPA}\)

Xét tam giác HQP và tam giác ABC có:

\(\widehat{HQP}=\widehat{QPA}\)

\(\widehat{PHQ}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

=> Tam giác HQP ~ Tam giác ABC ( g - g )

=> \(\frac{HQ}{AB}=\frac{HP}{AC}\Rightarrow\frac{AC}{AB}=\frac{HP}{HQ}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{HQ}{HP}\)             (1)

Xét tam giác HAB có: 

QP // AB

=> Tam giác HQP ~ HAB 

=> \(\frac{HQ}{QB}=\frac{HP}{PA}\Rightarrow\frac{HQ}{HP}=\frac{QB}{PA}\)             (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{PA}\)

Xét tam giác AHC vuông ở H có: 

\(\widehat{PAC}+\widehat{BCA}=90^0\)(3)

Xét tam giác ABC vuông ở A có:

\(\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=90^0\)  (4)

Từ (3) và (4) => \(\widehat{PAC}=\widehat{CBA}\)

Xét tam giác ABQ và tam giác CAP có:

\(\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{PA}\)

\(\widehat{PAC}=\widehat{CBA}\)

=> Tam giác ABQ ~ Tam giác CAP ( c-g-c ) ( đpcm )

Bài làm

a) Vì AM là trung tuyến

=> M là trung điểm BC 

=> BM = MC = BC/2 = ( BH + HC )/2 = ( 9 + 16 )/2 = 12,5 ( cm )

Ta có: BH + HM + MC = BC

=> BH + HM + MC = BH + HC

hay 9 + HM + 12,5 = 9 + 16

=> HM = 9 + 16 - 9 - 12,5 

=> HM = 3,5 ( cm )

Vì tam giác ABC là tam giác vuông ở A

Mà AM trung tuyến

=> AM = MC = BM = 12,5 ( cm )

Xét tam giác AHM vuông ở H có:

Theo định lí Pytago có:

AH² = AM² - HM² 

hay AH² = 12,5² - 3,5² 

=> AH² = 156,25 - 12,25

=> AH² = 144

=> AH = 12 ( cm )

S_ABC = 1/2 . AH . HM = 1/2 . 12 . 3,5 = 21 ( cm² )

Xét tam giác AHB vuông ở H có:

Theo định lí Py-ta-go có:

AB² = BH² + AH² 

=> AB² = 9² + 21² 

=> AB² = 81 + 441

=> AB² = 522

=> AB \(\approx\)22,8 ( cm )

Xét tam giác AHC vuông ở H có: 

Theo định lí Pytago có:

AC² = AH² + HC² 

=> AC² = AH² + ( HM + MC )² 

hay AC² = 21² + ( 3,5 + 12,5 )² 

=> AC² = 441 + 256

=> AC² = 697

=> AC \(\approx\)26,4 ( cm )

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 22,8 + 26,4 + 25 = 74,2 ( cm )

S_ABC = 1/2 . AH . BC = 1/2 . 21 . 25 = 262,5 ( cm² )