5:

a: sin x=2*cosx

\(A=\dfrac{6cosx+2cosx-4\cdot8\cdot cos^3x}{cos^3x-2cosx}\)

\(=\dfrac{8-32cos^2x}{cos^2x-2}\)

b: VT=sin^4(pi/2-x)+cos^4(x+pi/2)+6*1/2*sin^22x+1/2*cos4x

=cos^4x+sin^4x+3*sin^2(2x)+1/2*(1-2*sin^2(2x))

=1-2*sin^2x*cos^2x+3*sin^2(2x)+1/2-sin^2(2x)

==3/2=VP

Bán kính hình tròn:
\(18,84:3,14:2=3\left(cm\right)\)
Diện tích hình tròn:
\(3\times3\times3,14=28,26\left(cm^2\right)\)
Đường kính hình tròn:
\(3\times2=6\left(cm\right)\)
Diện tích hình thoi:
\(\dfrac{6\times6}{2}=18\left(cm^2\right)\)
Diện tích phần gạch chéo:
\(28,26-18=10,26\left(cm^2\right)\)

4b.

\(\dfrac{\pi}{2}< a< \pi\Rightarrow cosa< 0\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow tana=\dfrac{sina}{cosa}=-\dfrac{3}{4}\)

\(tan\left(a+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{tana+tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-tana.tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\sqrt{3}}{1-\left(-\dfrac{3}{4}\right).\sqrt{3}}=...\)

c.

\(\dfrac{3\pi}{2}< a< 2\pi\Rightarrow cosa>0\Rightarrow cosa=\sqrt{1-sin^2a}=\dfrac{5}{13}\)

\(cos\left(\dfrac{\pi}{3}-a\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right).cosa+sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).sina=\dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{13}+\left(-\dfrac{12}{13}\right).\dfrac{\sqrt{3}}{2}=...\)

4:

a: -90<a<0

=>cos a>0

cos^2a=1-(-4/5)^2=9/25

=>cosa=3/5

\(sin\left(45-a\right)=sin45\cdot cosa-cos45\cdot sina=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(cosa-sina\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{10}\)

b: pi/2<a<pi

=>cosa<0

cos^2a+sin^2a=0

=>cos^2a=16/25

=>cosa=-4/5

tan a=3/5:(-4/5)=-3/4

\(tan\left(a+\dfrac{pi}{3}\right)=\dfrac{tana+\dfrac{tanpi}{3}}{1-tana\cdot tan\left(\dfrac{pi}{3}\right)}\)

\(=\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\sqrt{3}}{1-\dfrac{-3}{4}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{48-25\sqrt{3}}{11}\)

c: 3/2pi<a<pi

=>cosa>0

cos^2a+sin^2a=1

=>cos^2a=25/169

=>cosa=5/13

cos(pi/3-a)

\(=cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)\cdot cosa+sin\left(\dfrac{pi}{3}\right)\cdot sina\)

\(=\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{-12}{13}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5-12\sqrt{3}}{26}\)

3:

a: CD vuông góc AD

CD vuông góc SA

=>CD vuông góc (SAD)

b: BC vuông góc AB

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAB)

=>(SBC) vuông góc (SAB)

Câu 27.

Cơ năng vật:

\(W=\dfrac{1}{2}mv^2+mgz=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot10^2+5\cdot10\cdot30=1750J\)

Câu 28.

\(m=200tấn=2\cdot10^5kg\)

\(z=12km=12000m\)

\(v=720\)km/h=200m/s

Cơ năng vật:

\(W=\dfrac{1}{2}mv^2+mgz=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot10^5\cdot200^2+2\cdot10^5\cdot10\cdot12000=2,8\cdot10^{10}J\)

Câu 29.

a)Cơ năng vật ban đầu:

\(W=W_t=mgz=2\cdot10\cdot30=600J\)

b)Vận tốc vật khi sắp chạm đất:

\(v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot30}=10\sqrt{6}\)m/s

c)Tại nơi có động năng bằng thế năng.

\(W_1=W_đ+W_t=2W_t=2mgz_1\)

Bảo toàn cơ năng: \(W=W_1\)

\(\Rightarrow600=2mgz_1\)

\(\Rightarrow z_1=\dfrac{600}{2\cdot2\cdot10}=15m\)

d)Tại nơi \(W_đ=2W_t\)

Cơ năng vật: \(W_2=3W_t=3mgz_2\)

Bảo toàn cơ năng: \(W=W_2\)

\(\Rightarrow600=3mgz_2\)

\(\Rightarrow z_2=\dfrac{600}{3\cdot2\cdot10}=10m\)

Câu 30.

a)Cơ năng ban đầu: 

\(W=\dfrac{1}{2}mv^2+mgz=\dfrac{1}{2}\cdot0,5\cdot20^2+0,5\cdot10\cdot0=100J\)

b)Cơ năng tại nơi \(h_{max}\) là: 

\(W_1=mgh_{max}=0,5\cdot10\cdot h_{max}=5h_{max}\left(J\right)\)

Bảo toàn cơ năng: \(W=W_1\)

\(\Rightarrow100=5h_{max}\Rightarrow h_{max}=20m\)

c)Tại nơi có \(W_t=2W_đ\Rightarrow W_đ=\dfrac{1}{2}W_t\)

Cơ năng lúc này: 

\(W_2=W_đ+W_t=\dfrac{1}{2}W_t+W_t=\dfrac{3}{2}W_t=\dfrac{3}{2}mgz'\)

Bảo toàn cơ năng:  \(W=W_2\)

\(\Rightarrow100=\dfrac{3}{2}mgz'\)

\(\Rightarrow z'=\dfrac{40}{3}m\)

Câu 32.

a)Độ cao mặt phẳng nghiêng: 

   \(h=l\cdot sin\alpha=10sin30^o=5m\)

   Bảo toàn cơ năng: \(W_đ=W_t\)

   \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^2=mgh\)

   \(\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\)m/s

b)Chọn mốc thế năng tại chân mặt phẳng gnhieeng.

Lực ma sát:

\(F_{ms}=\mu N=\mu\cdot mgcos\alpha=0,2\cdot m\cdot10\cdot cos30^o=\sqrt{3}m\left(N\right)\)

Cơ năng vật khi ở đỉnh mặt phẳng nghiêng:

\(W_1=mgh=m\cdot10\cdot5=50m\left(J\right)\)

Cơ năng vật khi ở chân mặt phẳng nghiêng:

\(W_2=\dfrac{1}{2}mv^2\left(J\right)\)

Công lực ma sát: \(A_{ms}=F_{ms}\cdot s=\sqrt{3}m\cdot5=5\sqrt{3}m\left(J\right)\)

Bảo toàn cơ năng:

\(W_2-W_1=A_{ms}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^2-50m=5\sqrt{3}m\)

\(\Rightarrow v=10,83\)m/s

Câu 31.

a)Độ cao cực đại.

Bảo toàn cơ năng: \(W=W_đ=W_t\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^2=mgh_{max}\)

\(\Rightarrow h_{max}=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{7^2}{2\cdot10}=2,45m\)

b)Ở độ cao thế năng gấp 4 lần động năng.

\(W_2=W_đ+W_t=5W_t=5mgz\)

Bảo toàn cơ năng: \(W=W_2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^2=5mgz\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot7^2=5\cdot10\cdot z\)

\(\Rightarrow z=0,49m\)