Cho tam giác ABC, kẻ 3 đường thẳng AM,BN,CP nằm trong tam giác. G là giao điểm của 03 đường thẳng trên. Chứng minh rằng nếu S tam giác GAC= S tam giác GBC= S tam giác GAB (S là diện tích) thì G là trọng tâm của tam giác.
Cho tam giác ABC. G nằm trong tam giác ABC. Chứng minh răng nếu diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GAC= diện tích tam giác GBC thì G là trọng tâm của tam giác ABC
Em tham khảo tại link này nhé.
Câu hỏi của truong nhat linh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Cho tam giác ABC. G nằm trong tam giác ABC. Chứng minh răng nếu diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GAC = diện tích tam giác GBC thì G là trọng tâm của tam giác ABC
Kéo dài BG cắt AC tại N; CG cắt AB tại M
Có : SAGC = \(\frac{1}{2}\)h.GC ; SBGC = \(\frac{1}{2}\). k. GC mà SAGC = SGBC nên h = k
Mặt khác, SGAM = \(\frac{1}{2}\)h.GM ; SGBM = \(\frac{1}{2}\)k. GM
=> SGAM = SGBM
Lại có : tam giác GAM; GBM đều chung chiều cao hạ từ G xuống AB => đáy MA = MB => M là trung điểm của AB => CM là trung tuyến
+) Tương tự, từ SGAB = SGBC => N là trung điểm của AC => BN là trung tuyến
BN cắt CM tại G => G là trọng tâm tam giác ABC
Cho tam giác ABC , G là 1 điểm nằm trong tam giác ABC . CMR :
Nếu SGBC = SGAC = S GAB thì G là trọng tâm của tam giác ABC ,
Gọi M là giao điểm của GA với BC.
Ta thấy \(S_{GAB}=S_{GAC}\) mà hai tam giác trên chung cạnh đáy GA nên chiều cao hạ từ B và C xuông GA là bằng nhau.
Vậy thì \(S_{GBM}=S_{GCM}\)
Từ đó suy ra BM = CM hay M là trung điểm BC.
Vậy AM là trung tuyến tam giác ABC.
Lại có \(S_{GBM}=\frac{S_{GBC}}{2}=\frac{S_{ABG}}{2}\Rightarrow\frac{AG}{GM}=2\)
Vậy nên G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S' là diện tích của tam giác DBC
Chứng minh rằng : \(\dfrac{S'}{S}=\dfrac{DK}{AH}\)
b) Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T
Chứng minh rằng \(\dfrac{MH}{AD}+\dfrac{MK}{BE}+\dfrac{MT}{CF}=\)
Bài 1: cho tam giác ABC, trên cạnh AB, BC, AC lấy các điểm M, N, P sao cho: AM/AB=BN/BC=CP/CA=1/3. Gọi S là diện tích tam giác ABC, S' la diện tích tam giác tạo bởi 3 đường thẳng CM, AN, BP. Hãy so sánh S và S'
Tam giác ABC có đường thẳng d cắt AB tại E và AC tại F
Ta có S(AEF)/S(ABC) = AE.AF/AB.AC
Ghi chú: S(ABC) là diện tích tam giác ABC
Từ AM/AB = BN/BC = CP/CA = 1/3
=> BM/BA = CN/CB = AP/AC = 2/3
Áp dụng ta có:
S(AMP)/S(ABC) = AM.AP/AB.AC = 1/3.2/3 = 2/9 (1)
S((BMN)/S(ABC) = BN.BM/BC.BA = 1/3.2/3 = 2/9 (2)
S(CNP)/S(ABC) = CN.CP/CB.CA = 1/3.2/3 = 2/9 (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
[S(AMP) + S(BMN) + S(CNP)]/S(ABC) = 6/9 = 2/3
=> S(AMP) + S(BMN) + S(CNP) = 2/3.S(ABC) = 2/3.S
Mà S(AMP) + S(BMN) + S(CNP) + S' = S
=> S' = S - 2/3.S = 1/3.S
Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A. Các đường thẳng qua đỉnh B,C và trung điểm O của đường cao tương ứng với đỉnhA cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N. Biết diện tích tam giác ABC bằng S, tính diện tích tứ giác AMON?
Bài 2: Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. AM cắt BN ở I, DM cắt CN ở J. Chứng minh rằng: SMINJ=SABI+SCBJ
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Tính diện tích mỗi phần?
Bài 4: Cho tam giác ABC có diện tích 30cm2. trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=2DB, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=3EC. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Tính diện tích tam giác AMB?
Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm
a. Tam giác ABC có dạng đặc biệt nào? Vì sao?
b. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, kẽ MH vuông góc với AC. Trên tia đối tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.
c. BH cắt AM tại G. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.
d. Nối GC. Chứng minh rằng : S GBC = S GBC = S GCA
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh:
a) SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA;
b) Các tam giác GAB, GBC và GCA có diện tích bằng nhau
a) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP = PB nên SAGP = SPGB
Tương tự, ta có: SBGM = SMGC và SCGN = SNGA.
Vì G là trọng tâm DABC Þ AG = 2GM.
Þ SBGM = 1 2 SABG Þ SBGM = SAGP = SPGB.
Chứng minh tương tự, ta suy ra được:
SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA
b) Sử dụng kết quả câu a) ta có diện tích mỗi tam giác bằng 1 6 SABC, từ đó suy ra ĐPCM.
Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S’ là diện tích của tam giác DBC.
Chứng minh rằng S ' S = D K A H
Hai △ ABC và △ DBC có chung canh đáy BC nên ta có:
S A B C = 1/2 AH. BC = S
S D B C = 1/2 DK. BC = S'