1, gọi d là ƯC(12n+1; 30n+2) 

=> 12n + 1 ⋮ d và 30n + 2 ⋮ d

=> 5(12n + 1) ⋮ d và 2(30n + 2) ⋮ d

=> 60n + 5 ⋮ d và 60n + 4 ⋮ d

=> 60n + 5 - 60n - 4 ⋮ d 

=> 1 ⋮ d

=> d = 1

=> ...

1)

 Gọi ước chung của 12n+1 và 30n +2 là d ta có:

\(\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\)

=>5(12n+1)-2(30n+2)\(⋮\)d

=>\(1⋮d\)

=> phân số tối giản

Bài 1 :

     Gọi d = ƯC(12n + 1, 30n + 2 )

   Xét hiệu :

        12n + 1 - 30n + 2 \(⋮\)d

  5(12n + 1) - 2(30n + 2 ) \(⋮\)d

  60n + 5 - 60n - 4n \(⋮\)d

             5 - 4 \(⋮\)d

              1   \(⋮\)d

=> d = 1

=>\(\frac{12n+1}{30n+2}\)tối giản

Gọi \(d\inƯC\left(12n+1;30n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)=1\)

hay phân số \(A=\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản(đpcm)

Gọi d∈ƯC(12n+1;30n+2)d∈ƯC(12n+1;30n+2)

⇔⎧⎨⎩12n+1⋮d30n+2⋮d⇔⎧⎨⎩60n+5⋮d60n+4⋮d⇔{12n+1⋮d30n+2⋮d⇔{60n+5⋮d60n+4⋮d

⇔60n+5−60n−4⋮d⇔60n+5−60n−4⋮d

⇔1⋮d⇔1⋮d

⇔d∈Ư(1)⇔d∈Ư(1)

⇔ƯCLN(12n+1;30n+2)=1⇔ƯCLN(12n+1;30n+2)=1

vậy 

Ta chứng minh phân số này có tử và mẫu là  hai số nguyên tố cùng nhau .

 Gọi $d$  là ước chung của $\frac{12n+1}{30n+2}$

Ta có :

$5(12n+1)-2(30n+2)=1⋮d$

 Vậy $d=1$  nên $12n+1$ nguyên tố cùng nhau.

⇒ $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản

\(A=\frac{12n+1}{30n+2}\)

Gọi \(d\inƯC\left(12n+1,30n+2\right)\)

Ta có :

\(5\left(12n+1\right)-2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow60n+5-60n+4⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

a, Gọi d là ƯCLN\((12n+1,30n+2)\)\((d\inℕ^∗)\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5(12n+1)⋮d\\2(30n+2)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow(60n+5)-(60n+4)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy d = 1 để \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số  tối giản với mọi số tự nhiên n

Câu b tự làm

\(b)\)\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

\(=3^n\cdot\left(3^2+1\right)-2^n\cdot\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5=3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10\)

\(=\left(3^n-2^{n-1}\right)\cdot10⋮10\left(ĐPCM\right)\)

a) Goi UCLN(12n+1 ; 30n+2) la d 

=> 12n+1 chia het cho d                           =>5(12n+1) chia het cho d                   =>60n+5 chia het cho d

      30n+2 chia het cho d                              2(30n+2) chia het cho d                        60n+4 chia het cho d

=>(60n+5)-(60n+4) chia het cho d

=>   1 chia het cho d 

=>   d = 1

=>12n+1/30n+2 la phan so toi gian ( dpcm)

Gọi (12n + 1; 30n + 2) = d

=> 12n + 1 chia hết cho d  

      30n + 2 chia hết cho d

Xét hiệu:  5(12n + 1) - 2(30n + 2)  chia hết cho d

           <=>  60n + 5 - 60n - 4   chia hết cho d

           <=>   1  chia hết cho d

=> d = 1

Vậy (12n + 1)/(30n + 2) là phân số tối giản

Gọi ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2 là d, ta sẽ chứng minh d = 1.

Ta có : (12n + 1)⋮ d nên 2.(30n + 2)⋮ d hay (60n + 4)⋮ d.

=> [(60n + 5) - (60n + 4)⋮ d.

=> (60n + 5 - 60n - 4)⋮ d.

=> 1⋮ d => d = 1.

Hay 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy : phân số \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản.

Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d. 

Ta có : \(12n+1⋮d\) hay \(60n+5⋮d\)

             \(30n+2⋮d\) hay \(60n+4⋮d\)

=> \(60n+5-60n-4⋮d\) hay \(1⋮d\)

=> d=1 vậy phân số tối giản.

hai phân số đó không thể Cung chia hết cho một số tự nhiên nao lớn hơn 1 nên là phân số tối giản

GỌI Đ LÀ ƯC 12N+1,30N+2

=>12N+1 CHIA HẾT CHO Đ=>5(12n+4) cha hết cho đ

=>30n+2 ..........................đ=>2(30n+5)....................

=>60n+4 ,60n+5 chia hết cho Đ

=>1 chia hết cho Đ ,Đ=1

=>12n+1\30n+2 là p\s toois giản