Điểm M, N bị thừa à bạn?

Do OE là đường trung bình của tam giác DAF nên ED = EF.

Do ED là tiếp tuyến của (O) nên ED² = EB . EC.

Từ đó EF² = EB . EC nên đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

Xét ΔODE và ΔOCB có

góc ODE=góc OCB

góc DOE=góc COB

=>ΔODE đồng dạng với ΔOCB

=>OD/OC=OE/OB

=>OD*OB=OC*OE

a. Xét tam giác ABC có:

DE//BC (gt)

=>\(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}\)(định lý Ta-let) (1)

Xét tam giác ADE có:

AD//CF (gt)

=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{DE}{EF}\)(định lý Ta-let) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:\(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{ED}{FE}\)

câu b) bạn cố tình kẻ EI//BC hay sao vậy nhỉ?

Xét tam giác EHF có:

EF//BC (gt)

=>\(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{HB}{HF}\)(định lý Ta-let) (3)

Xét tam giác BCF có:

HI//FC (HI//AB và FC//AB) 

\(\dfrac{HB}{HF}=\dfrac{BI}{IC}\)(định lý Ta-let) (4)

Xét tam giác ABC có:

HI//AB (gt)

=>\(\dfrac{BI}{IC}=\dfrac{AH}{HC}\)(định lí Ta-let) (5)

Từ (3),(4),(5) suy ra: \(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>HE.HA=HC²