giúp mình nha

tk minh nnhe !

a² + b² = 4a + 6b - 9 

⇔ (a - 2)² + (b - 3)² = 4

Đây là phương trình của đường tròn (C) có tâm là I (2;3) và bán kính bằng 2

(d) : 3c + 4d - 1 = là phương trình đường thẳng

Gọi A (a;b) và B (b; d) ⇒ AB = \(\sqrt{\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2}\)

Với A nằm trên đường tròn (C) và B nằm trên d

Vẽ đường tròn (C) : (x - 2)² + (y - 3)² = 4 và đường thẳng 
3x + 4y - 1 = 0 trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy chúng không có điểm chung

Cần tìm tọa độ của A và B để AB đạt Min

Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với (d) tại N, cắt đường tròn (C) tại M, ta tìm được tọa độ MN

Do MN là khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên (C) đến (d)

Dấu "=" xảy ra khi A trùng M, B trùng N => a,b,c,d

Đoạn này lười quá nên tự làm nha

a) Nếu p=3 thì \(2^p+p^2=2^3+3^2=17\) là số nguyên tố

Nếu \(p\ge5\) thì \(2^p+p^2=\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)=\left(2^p+1\right)+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

Khi p là số nguyên tố , \(p\ge5\)=> p lẻ và p không chia hết cho 3; do đó: \(\left(2^p+1\right)\)chia hết cho 3 và (p-1)(p+1) chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(2^p+p^2\right)\)chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2+2^p\)không là số nguyên tố

Khi p=2, ta có : \(2^p+p^2=2^2+2^2=8\)là hợp số

Vậy duy nhất có p=3 thỏa mãn.

b) \(a+b+c+d=7\Rightarrow b+c+d=7-a\Rightarrow\left(b+c+d\right)^2=\left(7-a\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(b+c+d\right)^2\le3\left(b^2+c^2+d^2\right)\Rightarrow\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\) 

Lại có : \(\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\Leftrightarrow49-14a+a^2\le39-3a^2\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\)

Giải ra được : \(1\le a\le\frac{5}{2}\)

Vậy : a có thể nhận giá trị lớn nhất là \(\frac{5}{2}\), nhận giá trị nhỏ nhất là 1

Áp dụng BĐT Bun-hia-cop-xki ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{4}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

Suy ra \(A=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=4-2\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\).Thay vào tìm được min

Chọn C

Gọi A (d; e; f) thì A thuộc mặt cầu (S₁): (x - 1)² + (y - 2)² + (z- 3)² = 1 có tâm I₁ = (1; 2; 3), bán kính R₁ = 1

B (a; b; c) thì B thuộc mặt cầu (S₂): (x - 3)² + (y - 2)² + z² = 9 có tâm I₂ = (-3; 2; 0), bán kính R₂ = 3

Ta có I₁I₂ = 5 > R₁ + R₂ => (S₁) và (S₂) không cắt nhau và ở ngoài nhau. 

Dễ thấy F = AB, AB max khi A ≡ A₁; B ≡ B₁

=> Giá trị lớn nhất bằng I₁I₂ + R₁ + R₂ = 9.

AB min khi A ≡ A₂; B ≡ B₂ 

=> Giá trị nhỏ nhất bằng I₁I₂ - R₁ - R₂ = 1.

Vậy M - m =8

Cộng vế vs vế của những đẳng thức đã cho