Số số hạng của B:

\(100-1+1=100\) (số)

Do 100 chia 3 dư 1 nên ta có thể nhóm các số hạng của B thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng, dư 1 số hạng như sau:

\(B=3+\left(3^2+3^3+3^4\right)+\left(3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(=3+3^2.\left(1+3+3^2\right)+3^5.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{98}.\left(1+3+3^2\right)\)

\(=3+3^2.13+3^5.13+...+3^{98}.13\)

\(=3+13.\left(3^2+3^5+...+3^{98}\right)\)

Do \(13.\left(3^2+3^5+...+3^{98}\right)⋮13\)

\(\Rightarrow B=3+13.\left(3^2+3^5+...+3^{98}\right)\) chia 13 dư 3

Vậy số dư trong phép chia B cho 13 là 3

B = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰

      Xét dãy số: 1;2; 3;...; 100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (100 - 1) : 1 + 1 = 100

vì 100 : 3 = 33 dư 1 nên nhóm 3 số hạng liên tiếp của B thành một nhóm khi đó

B = (3¹⁰⁰ + 3⁹⁹ + 3⁹⁸) + (3⁹⁷ + 3⁹⁶ + 3⁹⁵) + ... + (3⁴ + 3³ + 3²) + 3

B = 3⁹⁸.(3² + 3 + 1) + 3⁹⁵.(3² + 3 + 1) + ... + 3².(3² + 3 + 1) + 3

B = 3⁹⁸.13 + 3⁹⁵.13 + ... + 3².13 + 3

B = 13.(3⁹⁸ + 3⁹⁵ + ... + 3²) + 3

Vì 13  ⋮ 13; B : 13 dư 3. 

\(3^3\equiv1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow\left(3^3\right)^{33}\equiv1^{33}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow3^{99}\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow3^{99}.3\equiv1.3\left(mod13\right)\Rightarrow3^{100}\equiv3\left(mod13\right)\)

Vậy 3^100 chia 13 dư 3

Tìm số dư cho phép chia 3¹⁰⁰ chia cho 13

\(1+3+\left(3^2+3^3+3^4\right)+...+\left(3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{98}.\left(1+3+3^2\right)\)

\(=4+3^2.13+...+3^{98}.13\)

\(=4+13.\left(3^2+...+3^{98}\right)\)

=> \(1+3+3^2+...+3^{100}\) chia 13 dư 4

P/S: lưu ý từ 1 đến 3^100 có 101 số hạng, mà ghép thành 3 cặp thừa 2 cặp mà mk làm cặp đầu vì nếu làm cặp cuối ko tính ra đc 

cách khác:

3^0 : 13 dư 1

3^1:13 dư 3

3^2: 13 dư 9

3^3: 13 dư 1

3^4: 13 dư 3

3^5: 13 dư 9

3^6: 13 dư 1

3^7:13 dư 3

....

3^n: 13 dư ?

....để ý quy luật : số dư (1,3,9) nếu tính n từ 0

 hoặc (3,9,1) nếu tính n từ 1

--> quy luận số mũ:

1: chia 3 dư 1 Ứng với  (3)

2: chia 3 dư 2 Ứng với (9)

3: chia 3 dư 0  Ứng với (1)

...........

100 chia 3 dư 1 --> Ứng với (3)

\(\frac{3^{100}}{13}=\frac{9^{50}}{13}=\frac{81^{25}}{13}=\frac{\left(13.6+3\right)^{25}}{13}=K+\frac{3^{25}}{13}\)

\(\frac{3^{25}}{13}=\frac{3.\left(13.6+3\right)^6}{16}=M+\frac{3.3^6}{13}\)

\(\frac{3.3^6}{13}=\frac{3^3.\left(13.6+3\right)^1}{13}=Q+\frac{3^3.3^1}{13}\)

\(\frac{3^3.3^1}{13}=\frac{3^4}{13}=\frac{\left(13.6+3\right)^1}{13}=P+\frac{3^1}{13}\)

đáp : 3