\(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{50^2}\\ A< \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{50\times51}\\ A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{50}-\frac{1}{51}\\ A< 1-\frac{1}{51}=\frac{49}{51}\\ \Rightarrow A< 2\)

a) \(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1+1-\frac{1}{50}\)

\(=2-\frac{1}{50}< 2\)

\(\Rightarrow A< 2\)

b) Ta thấy : 21 = 3 .7        ( 3 ; 7 ) = 1

để chứng minh B \(⋮\)21 , ta cần chứng minh B \(⋮\)3 và 7

Ta có :

B = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2³⁰

B = ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) + ... + ( 2²⁹ + 2³⁰ )

B = 2 . ( 1 + 2 ) + 2³ . ( 1 + 2 ) + ... + 2²⁹ . ( 1 + 2 )

B = 2 . 3 + 2³ . 3 + ... + 2²⁹ . 3

B = ( 2 + 2³ + ... + 2²⁹ ) . 3 \(⋮\)3 ( 1 )

Lại có : B = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2³⁰ 

B = ( 2¹ + 2² + 2³ ) + ( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ ) + ... + ( 2²⁸ + 2²⁹ + 2³⁰ )

B = 2 . ( 1 + 2 + 2² ) + 2⁴ . ( 1 + 2 + 2² ) + ... + 2²⁸ . ( 1 + 2 + 2² )

B = 2 . 7 + 2⁴ . 7 + ... + 2²⁸ . 7

B = ( 2 + 2⁴ + ... + 2²⁸ ) . 7 \(⋮\)7 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)B \(⋮\)21

oh my goh

ta có:1+3x2+..........+3x50  [50=5x10 mà số nào nhân với 10 cũng có kq số cuối là 0]

Ta có dấu hiệu chia hết cho2 và 5 là số cuối bằng 0 [đã lập luận ở trên]⇒A cũng như 8.A chắc chắn sẽ chia hết cho 2, 5

\(M=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{15}{16}\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{9999}{10000}\)

\(=\frac{1.3}{2.2}\cdot\frac{2.4}{3.3}\cdot\frac{3.5}{4.4}\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{99.101}{100.100}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{101}{100}=\frac{101}{200}\)

Xét vế phải :

\(VP=\frac{99}{50}-\frac{97}{49}+...+\frac{7}{4}-\frac{5}{3}+\frac{3}{2}-1\)

\(=2.\left(\frac{99}{100}-\frac{97}{98}+...+\frac{7}{8}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\)

\(=2\left[\left(1-\frac{1}{100}\right)-\left(1-\frac{1}{98}\right)+...+\left(1-\frac{1}{4}\right)-\left(1-\frac{1}{2}\right)\right]\)

\(=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right)\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{25}+\frac{1}{26}+...+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{25}\right)\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}=VT\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

\(=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{1}{50}\)\(<1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}<1\)

Vậy \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}<1\)

\(=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{1}{50}\)

\(=\frac{49}{50}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}<1\)

Sao lại chẳng có quy luật thế này

Ở đầu mẫu là 1;2;3;4;5;.... Cuối lại là 2¹⁰⁰-1