\(a,x^2-\left(2m-3\right)x+m^2=0-vô-ngo\)

\(\Leftrightarrow\Delta< 0\Leftrightarrow[-\left(2m-3\right)]^2-4m^2< 0\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\)

\(b,\left(m-1\right)x^2-2mx+m-2=0\)

\(m-1=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow-2x-1=0\Leftrightarrow x=-0,5\left(ktm\right)\)

\(m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\Rightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{3}\)

\(c,\left(2-m\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4-m=0\)

\(2-m=0\Leftrightarrow m=2\Rightarrow-6x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\left(ktm\right)\)

\(2-m\ne0\Leftrightarrow m\ne2\Rightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow[-\left(m+1\right)]^2-\left(4-m\right)\left(2-m\right)< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{7}{8}\)

Δ=(2m)^2-4(m^2+2m+3)

=4m^2-4m^2-8m-12=-8m-12

Để PT có 2 nghiệm pb thì -8m-12>0

=>-8m>12

=>m<-3/2

x1^3+x2^3=108

=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=108

=>(-2m)^3-3(m^2+2m+3)*(-2m)=108

=>-8m^3+6m(m^2+2m+3)=108

=>-8m^3+6m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^2(m-6)+18(m-6)=0

=>(m-6)(-2m^2+18)=0

=>m=-3

1.Ta có \(\Delta=4m^2-4\left(m^2-m-3\right)=4m+12\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow4m+12>0\Rightarrow m>-3\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}}\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1.x_2< 0\Rightarrow m^2-m-3< 0\Rightarrow\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m>0\\x_1.x_2=m^2-m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\left(l\right);\hept{\begin{cases}m>0\\m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}}}}\)

Vậy \(m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

2. a.Ta có \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1\)

Ta thấy \(\Delta=4m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiejm phân biệt với mọi m

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Để \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x2\right)^2-4x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2-4.\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4m=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\)thoă mãn yêu cầu bài toán 

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi : 

\(\Delta'=m^2-\left(m^2+2m+3\right)=-2m-3>0\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)(*)

Hệ thức Viette : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m^2+2m+3\end{matrix}\right.\)

Có \(x_1^3+x_2^3=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow-8m^3+6m\left(m^2+2m+3\right)=108\)

\(\Leftrightarrow m^3-6m^2-9m+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-6\right).\left(m-3\right).\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (*) được m = -3 thỏa mãn

Đáp án B

\(\Delta'=m^2+2m+6=\left(m+1\right)^2+5>0\) ;\(\forall m\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-2m-6\end{matrix}\right.\)

Đặt \(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(P=\left(-2m\right)^2-2\left(-2m-6\right)=4m^2+4m+12\)

\(P=\left(2m+1\right)^2+11\ge11\)

\(P_{min}=11\) khi \(m=-\dfrac{1}{2}\)

PT x 2 − 2 m + 1 x + m 2 − 1 = 0     ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo Vi-et ta có:  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 x 2 = m 2 − 1

Ta có:  x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 = x 1 + x 2 2 + 6 x 1 x 2 = 2 m + 1 2 + 6 m 2 − 1

= 10 m 2 + 2 5 m + 1 25 − 27 5 = 10 m + 1 5 2 − 27 5

⇒ x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 ≥ − 27 5

Dấu ‘=’ xảy ra khi m = − 1 5 (thỏa mãn (*))

Vậy x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi  m = − 1 5

Đáp án cần chọn là: C