Gọi d là ƯCLN(2n+1;3n+1)

        \(\Rightarrow2n+1\) chia hết cho d

          \(\Rightarrow3n+1\) chia hết cho d

      \(\Rightarrow\left(2n+1\right)-\left(3n+1\right)\) chia hết cho d

      \(\Rightarrow\left[3\left(2n+1\right)\right]-\left[2\left(3n+1\right)\right]\) chũng chia hết cho d

           \(=\left[6n+3\right]-\left[6n+2\right]\)

          \(=6n+3-6n-2\)

          \(=\left(6n-6n\right)+\left(3-2\right)\)

          \(=0+1=1\) chia hết cho d

                 Vậy 1 chia hết cho d nên => d chia hết cho 1;-1

                       => ƯCLN(2n+1;3n+1)=1 (1)

                   từ  \(\left(1\right)\Rightarrow\frac{2n+1}{3n+1}\)  là phân số tối giản

C/m phân số sau tối giản

Gọi UWCLN(2n + 1; 3n + 2) = d

Ta có :

2n + 1 chia hết cho d => 3(2n + 1) = 6n + 3 chia hết cho d

3n + 2 chia hết cho d => 2(3n + 2) = 6n + 4 chia hết cho d

Áp dụng công thức đồng dư, ta có :

6n + 4 - 6n - 3 = 1 

=> \(\frac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản vì có ước chung là 1

\(P=\frac{\left(2n^3+n^2\right)+\left(2n^2+n\right)-\left(2n+1\right)}{\left(2n^3+n^2\right)+\left(2n^2+n\right)+\left(2n+1\right)}\)

\(P=\frac{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)}{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)+\left(2n+1\right)}\)

\(P=\frac{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)}{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)+\left(2n+1\right)}\)

P không là tối giản vì cả tử và mẫu đều chia hết cho (2n +1)

ban thieu DKXD:N=/\(\frac{-1}{2}\)

Phân số P chắc chắn không tối giản vì tử và mẫu chia hết cho 2n - 1, còn phân số sau khi rút gọn mới là tối giản.

\(P=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)

Gọi d là ước chung lớn nhất của tử và mẫu

\(\hept{\begin{cases}n^2+n+1⋮d\\n^2+n-1⋮d\end{cases}}\)

suy ra \(n^2+n+1-\left(n^2+n-1\right)⋮d\)hay \(2⋮d\)

Lại có \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)là số lẻ nên d là số lẻ.

Hai điều trên suy ra d = 1.

Do đó P là phân số tối giản.

cíu 

Gọi d=UCLN(2n+1;3n+2)

\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow-1⋮d\)

=>d=1

=>UCLN(2n+1;3n+2)=1

=>2n+1/3n+2 là phân số tối giản

\(\frac{2n+1}{3n+2}\)

Gọi \(d\inƯC\left(2n+1;3n+2\right)\)

Ta có : \(2\left(3n+2\right)-3\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow6n+4-6n+3⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

\(\frac{4n+1}{6n+1}\)

Gọi \(d\inƯC\left(4n+1;6n+1\right)\)

Ta có :

\(3\left(4n+1\right)-2\left(6n+1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow12n+3-12n+2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

ta có 2n/3n = 2/3 

mà 2/3 + 1 = 5/3

5/3 là 1 phân số tối giản

Gọi d=ƯCLN(3n+7;2n+5)

=>6n+14-6n-15 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG