Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} ,M{F_2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \).Vậy để điểm M thuộc Hyperbol khi và chỉ khi \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) hay\(\left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)

a) Ta có \(2a = 20 \Rightarrow a = 10,2b = 16 \Rightarrow b = 8\).

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

b) Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6,2c = 20 \Rightarrow c = 10\), suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) Ta có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Do đó, \(\frac{p}{2} = \frac{1}{2}\) suy ra \(p = 1\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 2x\).

a) Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) đã có dạng phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên ta có: \(a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\)

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \(A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)\)

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 6

b) Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) đã có dạng phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên ta có: \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10\)

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 10;0} \right),{F_2}\left( {10;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \(A(0;6),B(8;0),C(0; - 6),D( - 8;0)\)

Độ dài trục thực 16

Độ dài trục ảo 12

c) \({x^2} - 16{y^2} = 16 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Suy ra \(a = 4,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17} \)

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt {17} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {17} ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \(A(0;1),B(4;0),C(0; - 1),D( - 4;0)\)

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 2

d) \(9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{{144}}{9}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{144}}{{16}}}} = 1\)

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Suy ra \(a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\)

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \(A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)\)

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 6

a) Đây là một parabol. Tiêu điểm của parabol có tọa độ là: \(F\left({\frac{9}{2};0} \right)\).

b) Đây là một elip. Tiêu điểm của elip có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right) = \left( { - \sqrt {39} ;0} \right)\\{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right) = \left( {\sqrt {39} ;0} \right)\end{array} \right.\)

c) Đây là một hyperbol. Tiêu điểm của hypebol có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right) = \left( { - 5;0} \right)\\{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right) = \left( {5;0} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án D

Ta có thể thấy ngay rằng các khẳng định A và C đều đúng.

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH.

Vậy D là khẳng định sai.

Đáp án A

Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:

x 2   +   y 2   +   z 2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0

<=> ( x 2  - 2x + 1) +( y 2  - 2y + 1) + ( z 2  - 4z + 4) = 1 + 1 + 4 - 5

<=>  ( x   -   1 ) 2   +   ( y   -   1 ) 2   +   ( z   -   2 ) 2  = 1

Vậy khẳng định B đúng.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.

Vậy khẳng định A đúng.

Thể tích của khối cầu (S) là .

Vậy khẳng định D đúng.

*Xét phương trình  (m² +1).x² – (m- 6)x -  2= 0 có a= m² + 1 >0  và c = -2 < 0 nên ac< 0 mọi m.

=>  Phương trình (1) luôn có nghiệm mọi m.

* Phương trình x 2 + m + 3 x - 1 = 0  có ac= 1. (-1) < 0 nên phương  trình này luôn có nghiệm mọi m.

* Xét (3) mx² - 2x – m = 0  . Khi m= 0 thì (3) trở thành:  - 2x = 0 đây là phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất là x = 0.

* Xét (4) có :

∆ = - 2 m 2 - 4 . 2 - 1 - m = 4 m 2 + 8 + 8 m = 4 m 2 + 8 m + 4 + 4 = 4 m + 1 2 + 4 > 0   ∀ m

 Nên trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Chọn C.

Ta có:

m x 2 + 2 m = m x + 2 ⇔ m 2 x - m x = 2 - 2 m ⇔ m 2 - m x = 2 1 - m ⇔ m m - 1 x = 2 1 - m     ( * ) .

 *Khi m = 0  thì phương trình (*) trở thành:  0x = 2 vô lí nên phương trình vô nghiệm.

* Khi m = 1 thì phương trình (*) trở thành:  0x = 0 luôn đúng với mọi x nên phương trình vô số nghiệm.

* Khi  m ≠ 0  và   m ≠ 1  thì phương  trình (*) là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất.

Từ đó suy ra các phương án A B, D đúng và phương án C sai.

Cộng vế với vế của từng phương trình với nhau ta được:

( x 3 + 3 x 2 + x – 5 ) + ( y 3 + 3 y 2 + y – 5 ) + ( z 3 + 3 z 2 + z – 5 ) = 0

( x – 1 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) + ( y – 1 ) ( y 2 + 4 y + 5 ) + ( z – 1 ) ( z 2 + 4 z + 5 ) = 0   ( 1 )

Nếu x > 1 ⇒ z 3 + 3 z 2 + z – 5 > 1 ⇔ ( z – 1 ) ( z 2 + 4 z + 5 ) > 0 ⇒ z > 1

Tương tự với z > 1 ⇒ y > 1

Suy ra VT (1) > 0 (phương trình vô nghiệm)

Chứng minh tương tự với x < 1 ta cũng được phương trình (1) vô nghiệm

Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Đáp án:D