Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).

Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).

Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).

Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)

Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).

Vậy...

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.

Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.

Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412

⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.

Mà xyz≤(x+y+z)327=18

Nên  (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258 

⇒P≥152.

Đề thiếu kìa :vv

⇔xy+yz+zx=0

=yz/(x−y)(x−z)

Tương tự: xy/z^2+2xy=xy/(x−z)(y−z)

Ta có:

\(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz-2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz-2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz-2013z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz-2013.\left(z+y+z\right)}\)

\(VT=\dfrac{\left(x+y+x\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3\left[\left(x+y+z\right).\left(xy+yz+xz\right)-xyz\right]}\)

\(VT=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}\)

\(VT=\dfrac{1}{x+y+z}=VP\)

\(\Rightarrow\) Đpcm.

\(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

solution:

ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)

tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x²+y²+z²=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)

\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

cho mình hỏi vs ạ..

Khi mình nhập câu hỏi ý,, làm sao để gửi câu hỏi cho m.n xem để giải đk hả bạn,..Chỉ giùm mik vs ạ.

\(x+y+z=xyz\Rightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

\(VT\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\le\dfrac{1}{2}\sqrt{3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

\(x^2+y^2-z^2=x^2+\left(y-z\right)\left(y+z\right)=x^2-x\left(y-z\right)=x\left(x-y+z\right)=x\left(-y-y\right)=-2xy\)

Tương tự \(x^2+z^2-y^2=-2xz;y^2+z^2-x^2=-2yz\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow\text{Biểu thức }=\dfrac{xy}{-2xy}+\dfrac{xz}{-2xz}+\dfrac{yz}{-2yz}=-\dfrac{1}{8}\)

\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\)

\(\le\frac{1}{2\sqrt{x^2yz}}+\frac{1}{2\sqrt{y^2xz}}+\frac{1}{2\sqrt{z^2xy}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}}{2\sqrt{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{2xyz}\le\frac{\frac{x+y+x+z+x+y}{2}}{2xyz}=\frac{x+y+z}{2xyz}\)

Dấu '=' xảy ra <=> x=y=z

\(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{x^2yz}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{xyz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2xyz}\)

Tương tự cộng vế với vế -> \(VT\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le VP\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z

1/(x^2+yz) <= 1/(2 sqrt(x^2*yz)) = [1/sqrt(x)]/2sqrt(xyz) = sqrt(yz)/2xyz

Làm tương tự với các cái còn lại, cộng vế với vế là dc [sqrt(xy)+sqrt(yz)+sqrt(xz)]/2xyz <= VP

Dấu = xảy ra khi x=y=z