Quá dễ Quá đơn giản

giúp minh bài này với mai tớ nộp rùi

kg giúp thì thôi
 

Giả sử \(m\ge n\).

Ta có: \(2^{2m}+2^{2n}=4^m+4^n=4^n\left(4^{m-n}+1\right)\).

Đặt \(4^{m-n}+1=l^2\Leftrightarrow4^{m-n}=\left(l-1\right)\left(l+1\right)\)

Dễ thấy với các trường hợp của \(m-n\)thì không có \(l\)thỏa mãn. 

Vậy phương trình vô nghiệm. 

Bạn giải chi tiết hợn được không?

Mình giải chi tiết hơn đoạn "Dễ thấy". 

\(4^{m-n}=\left(l-1\right)\left(l+1\right)\)

- \(m-n=0\): \(\left(l-1\right)\left(l+1\right)=1\)(không có nghiệm nguyên)

- \(m-n=1\): \(\left(l-1\right)\left(l+1\right)=4\)(không có nghiệm nguyên)

- \(m-n>1\): Do \(l-1\)và \(l+1\)là hai số tự nhiên cùng tính chẵn lẻ liên tiếp nên tích của chúng không là lũy thừa của \(4\).

m và n thuộc N*

Lời giải:

Thấy rẳng $2m+1,2n+1$ lẻ nên ước của chúng là $m,n$ cũng phải lẻ.

Nếu $m=1$ thì $n=1$ hoặc $n=3$

Nếu $n=1$ thì $m=1$ hoặc $m=3$

Nếu cả $m,n\geq 3$:

\(\left\{\begin{matrix} 2m+1\vdots n\\ 2n+1\vdots m\end{matrix}\right.\Rightarrow (2m+1)(2n+1)\vdots mn \)

\(\Leftrightarrow 4mn+2m+2n+1\vdots mn \)

\(\Leftrightarrow 2m+2n+1\vdots mn\)

Mà $2m+n+1$ nguyên dương nên $2m+2n+1\geq mn$

$\Leftrightarrow (m-2)(n-2)\leq 5$

$m,n$ lẻ $m-2,n-2$ lẻ. Do đó $(m-2)(n-2)$ lẻ. Mà $m,n\geq 3$ nên $(m-2)(n-2)\geq 1$

Do đó $(m-2)(n-2)=1;3$. Đến đây là dạng phương trình tích đơn giản.

Tóm lại $(m,n)=(1,1); (1,3); (3;1); (7;3); (3;7)$

Từ giả thiết suy ra m và n đều lẻ, không mất tính tổng quát, giả sử \(m\ge n\)

Đặt \(2n+1=k.m\le2m+1\) (với \(k\ge1\) và k lẻ)

\(\Rightarrow k\le2+\frac{1}{m}\le3\Rightarrow k=\left\{1;3\right\}\)

TH1: \(k=1\Rightarrow2n+1=m\Rightarrow2m+1=4n+3⋮n\)

\(\Rightarrow3⋮n\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\Rightarrow m=3\\n=3\Rightarrow m=7\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

TH2: \(k=3\Rightarrow2n+1=3m\Rightarrow3\left(2m+1\right)=4n+5⋮n\)

\(\Rightarrow5⋮n\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\Rightarrow m=1\\n=5\Rightarrow m=\varnothing\end{matrix}\right.\)

a.m+2>n+2

Ta có: m >n

=>m+2 > n+2 (cộng hai vế với 2)

do đó m+2>n+2

b, -2m < -2n

Ta có: m > n

=> -2m < -2n (nhân hai vế với -2)

do đó -2m<-2n

c,2m-5>2n-5

Ta có: m>n

=>2m>2n (nhân hai vế với 2)

=>2m-5>2n-5 ( cộng hai vế với -5)

do đó 2m-5>2n-5

d,4-3m<4-3n

Ta có :m>n

=> -3m<-3n (nhân hai vế với -3)

=> 4-3m<4-3n (cộng 2 vế với 4)