Lời giải:
Thấy rẳng $2m+1,2n+1$ lẻ nên ước của chúng là $m,n$ cũng phải lẻ.
Nếu $m=1$ thì $n=1$ hoặc $n=3$
Nếu $n=1$ thì $m=1$ hoặc $m=3$
Nếu cả $m,n\geq 3$:
\(\left\{\begin{matrix} 2m+1\vdots n\\ 2n+1\vdots m\end{matrix}\right.\Rightarrow (2m+1)(2n+1)\vdots mn \)
\(\Leftrightarrow 4mn+2m+2n+1\vdots mn \)
\(\Leftrightarrow 2m+2n+1\vdots mn\)
Mà $2m+n+1$ nguyên dương nên $2m+2n+1\geq mn$
$\Leftrightarrow (m-2)(n-2)\leq 5$
$m,n$ lẻ $m-2,n-2$ lẻ. Do đó $(m-2)(n-2)$ lẻ. Mà $m,n\geq 3$ nên $(m-2)(n-2)\geq 1$
Do đó $(m-2)(n-2)=1;3$. Đến đây là dạng phương trình tích đơn giản.
Tóm lại $(m,n)=(1,1); (1,3); (3;1); (7;3); (3;7)$
Từ giả thiết suy ra m và n đều lẻ, không mất tính tổng quát, giả sử \(m\ge n\)
Đặt \(2n+1=k.m\le2m+1\) (với \(k\ge1\) và k lẻ)
\(\Rightarrow k\le2+\frac{1}{m}\le3\Rightarrow k=\left\{1;3\right\}\)
TH1: \(k=1\Rightarrow2n+1=m\Rightarrow2m+1=4n+3⋮n\)
\(\Rightarrow3⋮n\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\Rightarrow m=3\\n=3\Rightarrow m=7\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
TH2: \(k=3\Rightarrow2n+1=3m\Rightarrow3\left(2m+1\right)=4n+5⋮n\)
\(\Rightarrow5⋮n\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\Rightarrow m=1\\n=5\Rightarrow m=\varnothing\end{matrix}\right.\)
