Thọ tested! h heeeee

\(\sqrt{2222}\)

\(\dfrac{1}{22}\)

Giải :

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

a)  CÓ PM //AB 

=> CUNG AP= CUNG MB ( TÍNH CHẤT) (1)

MÀ CM ĐƯỢC B LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG MN => CUNG MB=CUNG NB (2)

TỪ (1) (2) => CUNG AP= CUNG NB 

b)  CM ĐƯỢC KME=90 ĐỘ ( VÌ PM //AB MÀ AB VUÔNG GÓC MN )

VÌ I LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG PM => OI VUÔNG GÓC PM TẠI K => OKM = 90 ĐỘ 

TỨ GIÁC OKME CÓ OKM=KME=MEO=90 ĐỘ => TỨ GIÁC OKME LÀ HÌNH CHỮ NHẬT 

c) CHỨNG MINH ĐƯỢC KE LÀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC PMN => KE // PN 

MẶT KHÁC CÓ OK=ME=NE MÀ NE//OK (CÙNG VUÔNG GÓC AB )

=> TỨ GIÁC OKNE LÀ HÌNH BÌNH HÀNH => KE//ON 

CÓ KE//ON MÀ KE//PN NÊN PN TRÙNG ON => O, P, N THẲNG HÀNG 

Câu 1 : 

Xét ΔCHO vuông tại H , có : cos COH = \(\dfrac{OH}{OC }\)( tỉ số lượng giác ) 

⇔ cos COH = \(\dfrac{R/2}{R}\)=\(\dfrac{1}{2}\)=> \(\widehat{COH }\) = 60 độ 

=> \(\widehat{BC }\) = \(\widehat{COH }\) = 60 độ 

C/m tương tự =>​ \(​​​​\widehat{BD }\) = 60 độ . Ta có \(\widehat{BC }\) + \(​​​​\widehat{BD }\)  = 60 + 60 = 120 độ 

còn lại bạn tự làm nốt nhá 

góc ADB=1/2*180=90 độ

góc ANB=góc ADB=90 độ

Xét ΔEAB có

BD,AN,EC là đường cao

BD cắt EC tại F

=>F là trựctâm

góc ADF+góc ACF=180 độ

=>ADFC nội tiếp

góc EDF+góc ENF=180 độ

=>EDFN nội tiếp

góc CDF=góc CAF

góc NDF=góc ECB

mà góc CAF=góc ECB

nên góc CDF=góc NDF

=>DF là phân giác của góc NDC(1)

góc DNF=góc AEC

góc CNF=góc DBA

góc AEC=góc DBA

=>góc DNF=góc CNF

=>NF là phân giác của góc DNC(2)

Từ (1), (2) suy ra F là tâm đường tròn nội tiêp ΔCND

Gọi giao điểm của AK và MB là I; giao điểm của IF với AB là J.

Xét tam giác vuông ICA ta thấy DA = DC nên DA = DC = DI.

Lại có DB là trung trực của AF nên DA = DF. Vậy thì DA = DF = DI hay tam giác IFA vuông tại F, suy ra DB // IJ.

Vậy thì DB là đường trung bình tam giác AIJ hay B là trung điểm AJ.

Ta có KF // AJ nên áp dụng Ta let ta có:

\(\frac{KM}{AB}=\frac{IM}{IB}=\frac{MF}{BJ}\)

Do AB = BJ nên KM = MF.