Lời giải:
a.

Xét tam giác $AMB$ và $EMC$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh)

$AM=EM$

$MB=MC$

$\Rightarrow \triangle AMB=\triangle EMC$ (c.g.c)

b.

Vì $\triangle AMB=\triangle EMC$ nên $\widehat{MAB}=\widehat{MEC}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $EC\parallel AB$

Mà $AB\perp AC$ nên $EC\perp AC$ (đpcm)

c.

Vì $\triangle AMB=\triangle EMC$ nên:

$AB=EC$

Vì $EC\perp AC$ nên $\widehat{ECA}=90^0=\widehat{BAC}$

Xét tam giác $ECA$ và $BAC$ có:
$\widehat{ECA}=\widehat{BAC}=90^0$ (cmt)

$AC$ chung

$EC=BA$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ECA=\triangle BAC$ (c.g.c)

$\Rightarrow EA=BC$

Mà $EA=2AM$ nên $2AM=BC$ (đpcm)

Hình vẽ:

a) Xét tg AMB và EMC có :

MA=ME(gt)

MB=MC(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\left(đđ\right)\)

=> Tg AMB=EMC(c.g.c) (đccm)

b) Do tg AMB=EMC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{ECM}\)

=> AB//EC

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ECA}=90^o\)

\(\Rightarrow AC\perp CE\left(đccm\right)\)

c) Do tg ABM=CEM (cmt)

\(\Rightarrow AM=MC=\frac{BC}{2}\)

Hay nói cách khác : BC=2AM (đccm)

#H

a) Xét t/giác AMB và t/giác EMC

có  MA = ME (gt)

   BM = MC (gt)

 \(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(đối đỉnh)

=> t/giác AMB = t/giác EMC (c.g.c)

b) Do t/giác AMB = t/giác EMC (cmt)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{MEC}\)(2 góc t/ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB // CE

=> \(\widehat{A}+\widehat{C}=180^0\) (trong cùng phía)

mà \(\widehat{A}=90^0\) => \(\widehat{C}=90^0\) => AC \(\perp\)CE

c) Xét t/giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM = BM = MC = 1/2BC

=> BC = 2AM

HD C2: CM t/giác ABC = t/giác CEA (C.g.c)

=>  BC = EA (2 cạnh t/ứng

=> 1/2BC = 1/2EM

=> 1/2BC = MA (vì EM = MA = 1/2EM)

=> AM = 2BC

`\color {blue} \text {_Namm_}`

Mình xp sửa đề: Cho Tam giác `ABC (AB<AC)` (chứ nếu để vậy sẽ bị sai lệch thông tin của hình ;-;;)

`a,` Xét Tam giác `AMB` và Tam giác `CME` có:

`AM = EM (g``t)`

\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\) `(2` góc đối đỉnh `)`
`MB=MC (g``t)`

`=>` Tam giác `AMB =` Tam giác `CME (c-g-c)`

`b,` Vì Tam giác `AMB =` Tam giác `CME (a)`

`-> AB=CE (2` cạnh tương ứng `)`

Xét Tam giác `ABH` và Tam giác `DBH` có:

`HA = HD (g``t)`

\(\widehat{AHB}=\widehat{DHB}=90^0\)

`BH` chung

`=>` Tam giác `ABH =` Tam giác `DBH (c-g-c)`

`-> AB=BD (2` cạnh tương ứng `)`

Mà `AB = CE -> BD=CE`

a: Xét ΔAMB và ΔEMC co

MA=ME

góc AMB=góc EMC

MB=MC

=>ΔAMB=ΔEMC

b: Xet ΔBAD có

BH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔBAD cân tại B

=>BD=BA=CE

c: Xét ΔAMD có

MH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAMD cân tại M

Tự mà làm lấy

chịu. nhình rối hết cả mắt @-@

Bài 11: 

b: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm của AD

M là trung điểm của BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

Suy ra: AC//BD

a) Xét: "tam giác" ABM và "tam giác" EMC có:

- AM = ME ( gt )

- BM = CM ( gt )

- "góc" AMB = "góc" CME ( đối đỉnh )

=> "Tam giác" ABM = "Tam giác" EMC ( c.g.c )

b) Ta có: "tam giác" AMB = "Tam giác" EMC nên "góc" BAM = "góc" AEC 

Mặt khác: hai góc BAM và AEC nằm ở vị trị so le trong 

=> AB // CE

c) Xét : "tam giác" AIB và "tam giác" CIK có:

- AI = IC ( gt )

- BI = IK ( gt )

- "góc" AIB = "góc" CIK ( đối đỉnh )

=> "tam giác" AIB = " tam giác" CIK ( c.g.c )

=> "góc" BAI = "góc" KCI ( 2 góc tương ứng )

=> KC // AB

Theo tiên đề ơ- clit về hai đường thẳng song song thì qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó:

Mà: AB // CE (theo b) và KC // AB (cmt) 

Nên: E, K, C thẳng hàng

____________________ End _________________________

Mình nghĩ vậy ... không biết có đúng không :) còn mấy chữ nằm trong ngoặc kép ( " " ) bạn thay bằng kí hiệu nha, mình không biết viết kí hiệu ...... hì hì

Bài 1: 

a: Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AE

Do đó:ABEC là hình bình hành

Suy ra: AB=CE

b: ta có: ABEC là hình bình hành

nên AB//CE