a+b+c+c+d+0=? .
cho a,b,c,d >0 CMR
Cho a,b,c,d >0 CMR
1< (a+b)/(a+b+c) + (b+c)/(b+c+d) + (c+d)/(c+d+a) + (d+a)/(d+a+b) < 3
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $A$.
CM vế 1:
Ta có:
$\frac{a+b}{a+b+c}> \frac{a+b}{a+b+c+d}$
$\frac{b+c}{b+c+d}> \frac{b+c}{a+b+c+d}$
$\frac{c+d}{c+d+a}> \frac{c+d}{a+b+c+d}$
$\frac{d+a}{d+a+b}> \frac{d+a}{a+b+c+d}$
Cộng lại: $A> \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2>1$
CM vế 2:
Ta thấy $\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a+b+d}{a+b+c+d}=\frac{-cd}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với $a,b,c,d>0$
$\Rightarrow \frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
$\Rightarrow A< \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$
Ta có đpcm.
Chon cau tra loi dung Neu a+b/b+c=c+d/d+a thi
a)a phai bang c
b)a=c hay a+b+c+d=0
c)a+b+c+d phai bang 0
d)a+b+c+d khac 0 neu a=c
nếu \(\frac{a+b}{b+c}\)=\(\frac{c+d}{d+a}\)
=> a =c
pascal nhập 4 số a b c d và thực hiện yêu cầu sau : nếu c=0 và d=0 thì xuất ra màn hình a và b.Nếu c=0 và d khác 0 thì xuất ra kết quả phân số c/d . Nếu c khác 0 và d khác 0 thì xuất ra kết quả phán số a/b.Nếu c khác 0 và d khác 0 thì tính : câu A) a/b+c/d ; câu B) a/b-c/d ; câu C ) a/b*c/d ; câu D) a/b / c/d.
program hotrotinhoc;
function toigian(x,y: integer): integer;
var z: integer;
begin
while y<>0 do
begin
z:=x mod y;
x:=y;
y:=z;
end;
toigian:=x;
end;
var i,n,a,b,c,d: integer;
tu,mau: real;
begin
readln(a,b,c,d);
if (c=0) and (d=0) then write(a,' ',b);
if (c=0) and (d<>0) then write(c,'/',d,'=0');
if (c<>0) and (d<>0) then
if b/toigian(a,b)=1 then
writeln(a,'/',b,'=',(a/toigian(a,b))/b/toigian(a,b):1:0) else
writeln(a,'/',b,'=',(a/toigian(a,b)):1:0,'/',b/toigian(a,b):1:0);
if (c<>0) and (d<>0) then
begin
tu:=(a*d+c*b)/toigian(a*d+c*b,b*d);
mau:=(b*d)/toigian(a*d+c*b,d*b);
if (mau=1) or (tu=0) then writeln(a,'/',b,'+',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'+',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
tu:=(a*d-c*b)/toigian(a*d-c*b,b*d);
mau:=(b*d)/toigian(a*d-c*b,d*b);
if (mau=1) or (tu=0) then writeln(a,'/',b,'-',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'-',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
tu:=(a*c)/toigian(a*c,b*d);
mau:=(b*d)/toigian(a*c,b*d);
if mau=1 then writeln(a,'/',b,'*',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'*',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
tu:=(a*d)/toigian(a*d,b*c);
mau:=(b*c)/toigian(a*d,b*c);
if mau=1 then writeln(a,'/',b,'/',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'/',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0)
end;
readln
end.
program hotrotinhoc;
function toigian(x,y: integer): integer;
var z: integer;
begin
while y<>0 do
begin
z:=x mod y;
x:=y;
y:=z;
end;
toigian:=x;
end;
var i,n,a,b,c,d: integer;
tu,mau: real;
begin
readln(a,b,c,d);
if (c=0) and (d=0) then write(a,' ',b);
if (c=0) and (d<>0) then write(c,'/',d,'=0');
if (c<>0) and (d<>0) then
if b/toigian(a,b)=1 then
writeln(a,'/',b,'=',(a/toigian(a,b))/b/toigian(a,b):1:0) else
writeln(a,'/',b,'=',(a/toigian(a,b)):1:0,'/',b/toigian(a,b):1:0);
if (c<>0) and (d<>0) then
begin
tu:=(a*d+c*b)/toigian(a*d+c*b,b*d);
mau:=(b*d)/toigian(a*d+c*b,d*b);
if (mau=1) or (tu=0) then writeln(a,'/',b,'+',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'+',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
tu:=(a*d-c*b)/toigian(a*d-c*b,b*d);
mau:=(b*d)/toigian(a*d-c*b,d*b);
if (mau=1) or (tu=0) then writeln(a,'/',b,'-',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'-',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
tu:=(a*c)/toigian(a*c,b*d);
mau:=(b*d)/toigian(a*c,b*d);
if mau=1 then writeln(a,'/',b,'*',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'*',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
tu:=(a*d)/toigian(a*d,b*c);
mau:=(b*c)/toigian(a*d,b*c);
if mau=1 then writeln(a,'/',b,'/',c,'/',d,'=',tu/mau:1:0) else
writeln(a,'/',b,'/',c,'/',d,'=',tu:1:0,'/',mau:1:0);
end;
readln
end.
a). Cho a/b=c/d( với b+d khác 0)
CM: a/b=a+c/b+c
b). Cho a/b+c/d( a,b,c,d khác 0)
CM: a-b/a=c-d/c
`A=b/(c+d)+c/(a+b)` với `b+c>=a+d` và `b,c>0` `a,d>=0`
cho a,b,c,d >0 . CMR : (a-d)/(d+b) + (d-b)/(b+c) + (b-c)/ (c + a) + (c-a)/(a+d) >= 0
\(VT=\frac{a+b-\left(b+d\right)}{d+b}+\frac{\left(d+c\right)-\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)-\left(a+c\right)}{c+a}+\frac{\left(c+d\right)-\left(a+d\right)}{a+d}\)
\(VT=\frac{a+b}{d+b}-1+\frac{\left(d+c\right)}{b+c}-1+\frac{\left(b+a\right)}{c+a}-1+\frac{\left(c+d\right)}{a+d}-1\)
\(VT=\left(a+b\right).\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(d+c\right).\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
Chứng minh đc bđt sau: Với x; y > 0 ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Áp dụng ta có: \(VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{d+b+a+c}+\left(d+c\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\ge\frac{4.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=0\)
=> ĐPCM
cho a,b,c,d >0
cmr: a-d/d+b+d-b/b+c+b-c/c+a+c-a/a+d>=0
Cộng 4 vào vế trái nhá
\(VT+4=\left(\dfrac{a-d}{d+b}+1\right)+\left(\dfrac{d-b}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b-c}{c+a}+1\right)+\left(\dfrac{c-a}{a+d}+1\right)\)
\(=\dfrac{a+b}{d+b}+\dfrac{d+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{c+d}{a+d}\)
\(=\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{d+b}+\dfrac{1}{c+a}\right)+\left(c+d\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\right)\)
\(\ge\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}+\left(c+d\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}\)
\(=\left(a+b+c+d\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}\)\(=4\)
\(\Rightarrow VT\ge0=VP\)(Đpcm)
Cho \(\frac{a+b}{b+c}\) = \(\frac{c+d}{d+a}\) ( Với c+d ≠ 0 , b+c ≠ 0 , d+a ≠ 0 )
Chứng minh a = c hoặc a + b + c + d = 0
Ta có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{b+c+d+a}{d+a}\)
Nếu \(a+b+c+d\ne0.\)
\(\Rightarrow c+d=d+a\)
\(\Rightarrow c=a\left(đpcm1\right).\)
Nếu \(a+b+c+d=0\) thì hợp với đề.
\(\Rightarrow a+b+c+d=0\left(đpcm2\right).\)
Chúc bạn học tốt!
1.a)CMR từ tỉ lệ a/b=c/d (a khác b và -b,c khác d và -d) ta có tỉ lệ thức a+b/a-b = c+d/c-d.
b)CMR nếu có a+b/a-b = c+d/c-d (a,b,c,d khác 0) thì a/b=c/d.
Chứng minh rằng nếu a+b/b+c =c+d/d+a (c+d khác 0) thì a=c và a+b+c+d=0