Question

cho a,b,c,d >0 CMR

Cho a,b,c,d >0 CMR

1< (a+b)/(a+b+c) + (b+c)/(b+c+d) + (c+d)/(c+d+a) + (d+a)/(d+a+b) < 3

Answer 1

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là $A$.

CM vế 1:

Ta có:

$\frac{a+b}{a+b+c}> \frac{a+b}{a+b+c+d}$

$\frac{b+c}{b+c+d}> \frac{b+c}{a+b+c+d}$

$\frac{c+d}{c+d+a}> \frac{c+d}{a+b+c+d}$

$\frac{d+a}{d+a+b}> \frac{d+a}{a+b+c+d}$

Cộng lại: $A> \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2>1$

CM vế 2:

Ta thấy $\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a+b+d}{a+b+c+d}=\frac{-cd}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với $a,b,c,d>0$

$\Rightarrow \frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow A< \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$

Ta có đpcm.