1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

Ta có:

3^n+2-2^n+2+3^n-2^n

=3^n+2+3^n-(2^n+2+2^n)

=3^n(3^2 +1)-2^n(2^2 +1)

=3^n.10-2^n.5=3^n.10-2^(n-1).10

=(3^n-2^(n-1)).10 chia het cho 10

Tick nhé

Bài 7: Với n =1 \(2.7^n+1=15⋮3\Rightarrow\) mệnh đề đúng với n = 1  (1)

Giả sử đúng với n = k.Tức là \(2.7^k+1⋮3\).Ta c/m nó đúng với n = k + 1.  (2)

Tức là c/m \(2.7^{k+1}+1⋮3\).Thật vậy:

\(2.7^{k+1}+1=7\left(2.7^k+1\right)-6\)

Do \(2.7^k+1⋮3\Rightarrow7\left(2.7^k+1\right)⋮3\) và \(6⋮3\)

Suy ra \(2.7^{k+1}+1=7\left(2.7^k+1\right)-6⋮3\) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có đpcm.

Ta có: A = 1 + 3 + 3² + 3³ +....+ 3¹⁰

=> 3A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ..... + 3¹¹

=> 3A - A = 3¹¹ - 1

=> 2A = 3¹¹ - 1

=> 2A + 1 = 3¹¹

=> n = 11

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Ta thấy n-1;n;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6

Nên \(n^3-n\) luôn chia hết cho 6.

Tham khảo, chúc bạn học thật giỏi!

\(n^3-n\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Dễ thấy: \(n-1;n;n+1\) là 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6

Ta có đpcm

Ý BẠN LÀ n^3-n hay n³-n