Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết
Dang Tung
12 tháng 6 2023 lúc 20:35

Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)

\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )

\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )

Do a,b >0 

Nên áp dụng BDT Cô Si :

\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)

Do đó (*) luôn đúng

Vậy ta chứng minh đc bài toán

Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)

LÊ ĐÌNH HẢI
22 tháng 7 2023 lúc 19:27

a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).

Bất đẳng thức trên tương đương : 

\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1

\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1

\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1

Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)\(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)

\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1

Flash Dragon
Xem chi tiết
Đỗ Hoàng Nhi
12 tháng 7 2020 lúc 20:20

thx ban

Khách vãng lai đã xóa
Le Anh Thi
21 tháng 4 2021 lúc 16:38

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Viễn
Xem chi tiết
Bùi Nam ANH
Xem chi tiết
Trần Tuấn Hoàng
12 tháng 5 2022 lúc 22:41

\(\left(ad+bc\right)\left(a^2d^2+b^2c^2\right)=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+adb^2c^2+bca^2d^2+b^3c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+abcd\left(bc+ad\right)+b^3c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+abcd.0+b^3c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+b^3c^3=0\)

TrịnhAnhKiệt
Xem chi tiết
nguyễn hà anh
Xem chi tiết
Lê Ngọc Minh Khang
31 tháng 3 2023 lúc 15:39

Xét tổng

  Nếu cả 7 số đều lẻ thì tổng của chúng là số lẻ và do đó khác 0

Suy ra có ít nhất một trong 7 số  là số chẵn

  là số chẵn

dia fic
Xem chi tiết
nguyen thi vang
9 tháng 1 2021 lúc 19:24

Thay \(a=-\left(b+c\right)\) ; \(a+c=-b\) và \(a+b=-c\) vào điều kiện thứ 2 ta có 

\(\left(b+c\right)^2=2\left(-b+1\right)\left(-c-1\right)\)

 <=> \(b^2+c^2+2bc=2bc+2b-2c-2\)

<=> \(\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=-1\end{matrix}\right.\)

suy ra: a=0. Vậy A = a2 + b2 + c2 = 2

 

Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
8 tháng 1 2017 lúc 17:48

Đáp án C

Trần Hùng
Xem chi tiết
Nguyễn Hải Vanh
25 tháng 8 2023 lúc 13:47

Cần gấp ko bạn

Nếu gấp thì sang web khác thử