Lời giải:
a. Xét tam giác $AOK$ và $BOK$ có:

$\widehat{OKA}=\widehat{OKB}=90^0$

$OK$ chung 

$OA=OB=R$ 

$\Rightarrow \triangle AOK=\triangle BOK$ (ch-cgv)

$\Rightarrow \widehat{AOK}=\widehat{BOK}$

b. Xét tam giác $ACO$ và $BCO$ có:

$AO=BO$ 

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (cm ở phần a)

$CO$ chung

$\Rightarrow \triangle ACO=\triangle BCO$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}=90^0$

$\Rightarrow OB\perp BC$ nên $CB$ là tiếp tuyến của $(O)$

Hình vẽ:

Điểm C ở đâu vậy bạn?

Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O (OA = OB, bán kính). OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó:

Suy ra: CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

⇒ CB là tiếp tuến của đường tròn (O) tại B. (điều phải chứng minh)

a: Ta có: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB và OH là phân giác của \(\widehat{AOB}\)

ta có: OH là phân giác của góc AOB

=>OM là phân giác của góc AOB

=>\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>\(\widehat{OBM}=\widehat{OAM}\)

mà \(\widehat{OAM}=90^0\)

nên  \(\widehat{OBM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến của (O)

b: Sửa đề: B,O,C thẳng hàng

Ta có: AB\(\perp\)OM

OM//AC

Do đó: AB\(\perp\)AC

=>ΔABC vuông tại A

Vì ΔABC vuông tại A

nên ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

mà ΔABC nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của BC

=>B,O,C thẳng hàng

c: Xét (O) có

ΔDBC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔDBC vuông tại D

=>BD\(\perp\)DC tại D

=>BD\(\perp\)CM tại D

Xét ΔBCM vuông tại B có BD là đường cao

nên \(MD\cdot MC=MB^2\)(1)

Xét ΔBOM vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)

=>\(\dfrac{MD}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\)

Xét ΔMDH và ΔMOC có

\(\dfrac{MD}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\)

\(\widehat{DMH}\) chung

Do đó: ΔMDH đồng dạng với ΔMOC

=>\(\widehat{MHD}=\widehat{MCO}\)

=>\(\widehat{MHD}=\widehat{OCD}\)

mà \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)(ΔOCD cân tại O)

nên \(\widehat{MHD}=\widehat{ODC}\left(3\right)\)

Ta có: \(\widehat{MHD}=\widehat{MCO}\)

mà \(\widehat{MHD}+\widehat{OHD}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MCO}+\widehat{OHD}=180^0\)

=>\(\widehat{OCD}+\widehat{OHD}=180^0\)

=>OHDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OHC}=\widehat{ODC}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{OHC}=\widehat{MHD}\)

a: ΔOAB cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

góc AOC=góc BOC

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>góc OBC=90 độ

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔBAD nôi tiếp

BD là đường kính

Do đó:ΔBAD vuông tại A

=>AD vuông góc với BA

=>AD//CB

a: Xét (O) có

OH là một phần đường kính

AB là dây

OH⊥AB tại H

Do đó: H là trung điểm của AB

Xét ΔMAB có

MH là đường trung tuyến

MH là đường cao

Do đó:ΔMAB cân tại M

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

AM=BM

OM chung

Do đó:ΔOAM=ΔOBM

Suy ra: \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)

=>ΔOMB vuông tại B

=>MB là tiếp tuyến

b: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó:ΔABC vuông tại A

Đề bài sai nhiều quá, em kiểm tra lại câu a là ON hay MN, và câu b là ON hay MN?

a.

Ta có: \(KM=KN\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(OM=ON=R\)

\(\Rightarrow OK\) là trung trực của MN, hay \(OK\perp MN\)

b.

Có \(\widehat{KMN}=\widehat{KNM}\) (do \(\Delta KMN\) cân tại K)

\(\widehat{KNM}=\widehat{HMN}\) (cùng phụ \(\widehat{HNM}\))

\(\Rightarrow\widehat{KMN}=\widehat{HMN}\)

\(\Rightarrow MN\) là phân giác \(\widehat{HMK}\)

c.

Kéo dài IM và NK cắt nhau tại A

Theo câu ta có \(OK\perp MN\Rightarrow OK||IA\) (cùng vuông góc MN)

Mà O là trung điểm IN \(\Rightarrow K\) là trung điểm AN

Hay \(KA=KN\) (1)

Do \(MH||AN\) (cùng vuông góc IN), áp dụng định lý Talet trong tam giác KIN:

\(\dfrac{IQ}{IK}=\dfrac{QH}{KN}\) (2)

Áp dụng định lý Talet trong tam giác AIK:

\(\dfrac{IQ}{IK}=\dfrac{QM}{KA}\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow QH=QM\)