Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\). Tính giá trị của \(\left(x+y\right)\)
Cho x,y,z > 0 và xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Có xy + yz + zx = 1
=> 1 + x2 = x2 + xy + yz + zx
1 + x2 = (x + y)(y + z)
Tương tự ta có:
1 + y2 = (y + x)(y + z)
1 + z2 = (z + x)(z + y)
Thay vào P, ta được:
\(P=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(P=xy+yz+zx+xy+yz+zx\)
\(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Vậy P = 2
cho x,y,z thỏa mãn xy+yz+xz=1. Tính giá trị của biểu thức:
\(A=x.\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right).\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y.\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right).\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z.\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right).\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Bài này hình như x,y,z>0
Ta có: \(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{\left(x^2+xy+yz+zx\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}\)
Tương tự: \(y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}=y\sqrt{\left(x+z\right)^2}\)
\(z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
Cộng từng vế, ta có:
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
\(\hept{\begin{cases}1+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=\left(z+x\right).\left(z+y\right)\\1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)
Thế vào \(A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
\(=2\left(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\right)\)
Nếu x,y,z\(\ge0\Rightarrow A=2\)
Nếu x,y,z\(< 0\)\(\Rightarrow A=-2\)
Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \(xy+yz+xz=1\). Hãy tính giá trị biểu thức: \(A=x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
Cho các số thực x, y thỏa mãn: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
Tính giá trị của biểu thức: \(A=\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)\)
Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1
Tính giá trị của biểu thức A
A= x\(\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+x^2}}\)
Cho xy + \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\) = 20122011
Hãy tính giá trị biểu thức M = x\(\sqrt{1+y^2}\) + y\(\sqrt{1+x^2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P\left(x,y\right)=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2}\)
Bài này cô cũng nghĩ là dùng phương pháp toa độ, chuyển qua hình học giải tích Oxy để giải.
Cô làm như sau:
Từ biểu thức P ta nghĩ đến công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Từ đó ta đặt \(A\left(-1;1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-2;-2\right)\) và \(D\left(x;y\right)\). Khi đó ta thấy ngay \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC\)
Ta vẽ các điểm trên trục tọa độ:
Vậy điểm D cần tìm là điểm tạo với các cạnh tam giác góc 120o. (Để hiểu rõ thêm e có thể đọc về điểm Toricenli của tam giác ABC). Do tam giác ABC cân tại C nên D thuộc CO, nói cách khác xD = yD.
Do \(\widehat{ADB}=120^o\Rightarrow\widehat{ADO}=60^o.\) Vậy thì \(tan60^o=\sqrt{3}=\frac{OA}{DO}\)
Do \(OA=\sqrt{2}\Rightarrow DO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Vậy \(\sqrt{x_D^2+y_D^2}=\sqrt{2y_D^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow\left|x_D\right|=\left|y_D\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Từ hình vẽ ta có: \(x_D=y_D=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Vậy \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2}\)
\(+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2}\)
\(=\sqrt{6}+2\sqrt{2}.\)
Vậy min P(x;y) = \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
T cũng nghĩ dùng hình học giải tích Oxy giải thì được
Tính giá trị của biểu thức: \(E=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\), biết \(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right).\left(1+y^2\right)}=a\)
Tính giá trị của biểu thức: \(E=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\) biết \(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right).\left(1+y^2\right)}=a\)
\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=a\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)=a^2\)
\(\Rightarrow x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)+2.x\sqrt{1+y^2}.y\sqrt{1+x^2}+1=a^2\)
\(\Rightarrow\left(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\right)^2+1=a^2\)
\(\Rightarrow E^2+1=a^2\)
\(\Rightarrow E=\pm\sqrt{a^2-1}\)
\(a^2=x^2y^2+(1+x^2)(1+y^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} \\->2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=a^2-2x^2y^2-1-x^2-y^2 \\E^2=x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} \\=x^2+y^2+2x^2y^2+a^2-2x^2y^2-1-x^2-y^2 \\=a^2-1\)