Lời giải:

$A=x^4-4x^3+7x^2-12x+75$

$=(x^2-2x)^2+3x^2-12x+75$

$=(x^2-2x)^2+3(x^2-4x+4)+63$

$=(x^2-2x)^2+3(x-2)^2+63\geq 63$

Vậy $A_{\min}=63$. Giá trị này đạt tại $x^2-2x=x-2=0$

$\Leftrightarrow x=2$

\(a,n^3-2n^2+3n+3=n^3-n^2-n^2+n+2n-2+5\\ =\left(n-1\right)\left(n^2-n+2\right)+5\\ \Leftrightarrow n^3-2n^2+3n+3⋮\left(n-1\right)\\ \Leftrightarrow5⋮n-1\\ \Leftrightarrow n-1\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{-4;0;2;6\right\}\)

\(b,\Leftrightarrow x^4+6x^3+7x^2-6x+a\\ =x^4+3x^3-x^2+3x^3+9x^2-3x-x^2-3x+1-1+a\\ =\left(x^2+3x-1\right)\left(x^2+3x-1\right)-1+a\\ =\left(x^2+3x-1\right)^2+a-1\)

Để \(x^4+6x^3+7x^2-6x+a⋮x^2+3x-1\)

\(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

a)

\(A=4x-x^2+3=-\left(x^2-4x-3\right)=-\left(x^2-4x+4\right)+7=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Daaus = xayr ra khi: x = 2

b) \(B=4x^2-12x+15=4\left(x^2-3x+9\right)-21=4\left(x-3\right)^2-21\ge-21\)

Dấu = xảy ra khi x = 3

c) \(C=4x^2+2y^2-4xy-4y+1=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3=\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)

Dấu = xảy ra khi

2x = y và y = 2

=> x = 1 và y = 2

a) A = \(-x^2+4x+3=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Dấu "=" <=> x = 2

b) \(4x^2-12x+15=\left(2x-3\right)^2+6\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=\dfrac{3}{2}\)

c) \(4x^2+2y^2-4xy-4y+1\)

= \(\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3\)

= \(\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)

Dấu "=" <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

b)P = 0 khi x ≠ 0 và x ≠ ± 2 và x4 - 4x3 - 4x2 = 0

Ta có: x4 - 4x3 - 4x2 = x2(x2 – 4x + 4) = x2(x – 2)2 = 0

⇒ x = 0 hoặc x = 2

Vậy không có giá trị nào của x để P = 0

\(a,x^2+12x+39=x^2+12x+36+3=\left(x+6\right)^2+3\ge3\forall x\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x+6=0\) 

\(\Leftrightarrow x=-6\)

Vậy ...

\(b,9x^2-12x=9x^2-12x+4-4=\left(3x-2\right)^2-4\ge-4\forall x\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)

Vậy ...

Trả lời:

a, \(x^2+12x+39=x^2+2.x.6+36+3=\left(x+6\right)^2+3\ge3\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi x + 6 = 0 <=> x = - 6

Vậy GTNN của biểu thức bằng 3 khi x = - 6

b, \(9x^2-12x=\left(3x\right)^2-2.3x.2+4-4=\left(3x-2\right)^2-4\ge-4\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 0 <=> x = 2/3

Vậy GTNN của biểu thức bằng - 4 khi x = 2/3

\(A=x^4+2x^2-8x+2019\) \(=x^4-2x^2+1+4x^2-8x+4+2014\)

\(=\left(x^2-1\right)^2+4\left(x-1\right)^2+2014\ge2014\forall x\)  

" = " \(\Leftrightarrow x=1\)

a) \(A=4x^2-12x+100=\left(2x\right)^2-12x+3^2+91=\left(2x-3\right)^2+91\)

Ta có: \(\left(2x-3\right)^2\ge0\forall x\inℤ\)

\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+91\ge91\)

hay A \(\ge91\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(2x-3\right)^2=0\)

<=> 2x-3=0

<=> 2x=3

<=> \(x=\frac{3}{2}\)

Vậy Min A=91 đạt được khi \(x=\frac{3}{2}\)

b) \(B=-x^2-x+1=-\left(x^2+x-1\right)=-\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)

Ta có: \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\) hay B\(\le\frac{5}{4}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy Max B=\(\frac{5}{4}\)đạt được khi \(x=\frac{-1}{2}\)

\(C=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2\)

\(C=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+x^2+1\)

\(\Leftrightarrow C=\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\)

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\inℤ\\x^2\ge0\forall x\inℤ\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\ge1\)

hay C\(\ge\)1

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2=0\\x^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=1\\x=0\end{cases}}}\)

Vậy Min C=1 đạt được khi y=1 và x=0

B nhỏ nhất là 10 khi x = 0

--> b^3 + n^3 = 10^3 + 0^3 = 1000