Giả sử có 3 số nguyên là p;q;r sao cho \(p^q+q^p=r\)

Khi đó r > 3 nên r là số lẻ

=> p.q không cùng tính chẵn lẻ

Giả sử p=2 là q là số lẻ khi đó \(2^q+q^2=r\)

Nếu q không chia hết cho 3 thì q^2 =1 (mod3)

Mặt khác vì q lẻ nên \(2^q\)= -1(mod3)

Từ đó suy ra: \(2^q+q^2⋮3\Rightarrow r⋮3\)(vô lí)

Vậy q=3 lúc đó \(r=2^3+3^2=17\)là số nguyên tố

Vậy p=2; q=3, r=17 hoặc p=3; q=2, r=17

Trước hết ta có thể giả sử q=2 

* Nếu n là số nguyên dương lẻ thì ta có: 

\(p^n+2^n=\left(p+2\right)\left(\frac{p^n+2^n}{p+2}\right)=r^2\)  mà do r là số nguyên tố nên ta phải có: 

\(p+2=\frac{p^n+2^n}{p+2}=r\)

Nếu n là số lẻ và \(n\ge3\) thì ta có: \(\frac{p^n+2^n}{p+2}>p+2\)    từ đây ta dẫn đến một điều vô lý. Do đó, ta phải có: n=1.

* Nếu n là số chẵn, đặt n=2k  , \(k\in Z^+\) thì từ đây ta có: \(\left(p^k\right)^2+\left(2^k\right)^2=r^2\)  mà dễ thấy p  , r phải phân biệt nên đây là bộ ba Phythagore nên tồn tại  x,y:(x,y)  = 1 và x,y khác tính chẵn lẻ thỏa mãn: 

\(\hept{\begin{cases}p^k=2xy\\2^k=x^2-y^2\end{cases}}\)     hoặc \(\hept{\begin{cases}2^k=2xy\\p^k=x^2-y^2\end{cases}}\)

Mà p là số nguyên tố nên trường hợp này không xảy ra.

Vậy ta phải có: n=1

Chúc bạn học tốt !!!

Ta thấy nếu p, q cùng lẻ thì r chẵn. Mà r là số nguyên tố nên r = 2 (vô lí).

Do đó p = 2 hoặc q = 2 (Do p, q là các số nguyên tố).

Không mất tính tổng quát, giả sử p = 2.

Giả sử n lớn hơn 1.

Ta có \(r^2=2^n+q^n=\left(2+q\right).A\) với \(A=2^{n-1}+2^{n-2}q+...+q^{n-1}\).

Rõ ràng A lớn hơn 1. Do đó 2 + q = r. Dễ thấy q lẻ.

Suy ra \(\left(2+q\right)^2=2^n+q^n\).

Với n = 2 ta có 4q = 0, vô lí.

Với n > 2 ta có bất đẳng thức \(2^n+q^n\ge2^3+q^3\ge\dfrac{\left(2+q\right)^3}{4}>\left(2+q\right)^2\) (vô lí).

Do đó giả sử trên là sai.

Vậy n = 1.

Mình chỉ biết là theo định lí Fermat lớn thì pt \(x^n+y^n=z^n\) ko có nghiệm nguyên khác 0 khi \(n\ge3\) chứng đừng nói tới số nguyên tố.

Do \(p^4+q^4=r^4\)mà p, q, r là số nguyên tố nên r > q, r > p

\(\Rightarrow\)Chắc chắn r là số lẻ.

\(\Rightarrow\)p hoặc q là số chẵn.

Giả sử p chẵn \(\Rightarrow\)p = 2.

Ta có:\(16+q^4=r^4\)

\(\Leftrightarrow r^4-q^4=16\)

\(\Leftrightarrow\left(r^2-q^2\right)\left(r^2+q^2\right)=16\)

\(\Rightarrow r^2-q^2,r^2+q^2\inƯ\left(16\right)\)

Ta lại có: \(r^2-q^2< r^2+q^2\) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}r^2-q^2=1\\r^2+q^2=16\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}r=\frac{\sqrt{34}}{2}\\q=\frac{\sqrt{30}}{2}\end{cases}}}\)(Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của p, q, r thỏa mãn yêu cầu đề bài.