Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Việt Khoa

Cho các số nguyên tố p, q, r và n là số tự nhiên lẻ thỏa mãn: pn + qn = r2

CMR: n = 1

Trần Minh Hoàng
16 tháng 1 2021 lúc 22:57

Ta thấy nếu p, q cùng lẻ thì r chẵn. Mà r là số nguyên tố nên r = 2 (vô lí).

Do đó p = 2 hoặc q = 2 (Do p, q là các số nguyên tố).

Không mất tính tổng quát, giả sử p = 2.

Giả sử n lớn hơn 1.

Ta có \(r^2=2^n+q^n=\left(2+q\right).A\) với \(A=2^{n-1}+2^{n-2}q+...+q^{n-1}\).

Rõ ràng A lớn hơn 1. Do đó 2 + q = r. Dễ thấy q lẻ.

Suy ra \(\left(2+q\right)^2=2^n+q^n\).

Với n = 2 ta có 4q = 0, vô lí.

Với n > 2 ta có bất đẳng thức \(2^n+q^n\ge2^3+q^3\ge\dfrac{\left(2+q\right)^3}{4}>\left(2+q\right)^2\) (vô lí).

Do đó giả sử trên là sai.

Vậy n = 1.

 

 


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Trương Huy Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Lê Thị Bích Thảo
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết