Cho hàm số f: \(Z^+\rightarrow Z^+\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

1) \(f\left(n+1\right)>f\left(n\right)\) với \(\forall n\in Z\)

2) \(f\left(f\left(n\right)\right)=n+2000\) với \(\forall n\in Z\)

a) Chứng minh: \(f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+1\)

b) Tính \(f\left(n\right)\)

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\), \(f\left(0\right)=1\) và \(f'\left(x\right)=-4x^3.\left(f\left(x\right)\right)^2,\forall x\in R\). Tính \(I=\int_0^1x^3f\left(x\right)dx\)

A.\(I=\dfrac{1}{6}\)        B. \(I=ln2\)       C. \(I=\dfrac{1}{4}\)          D. \(I=\dfrac{ln2}{4}\)

Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥

1) Xác định tất cả các hàm số \(f:ℕ\rightarrowℕ\) thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: \(f\left(2\right)=2\) và \(f\left(mn\right)=f\left(m\right).f\left(n\right)\).

2) Tìm tất cả các hàm \(f:ℤ^+\rightarrowℤ^+\) thỏa mãn \(f\left(f\left(n\right)+m\right)=n+f\left(m+2023\right)\)

 Giúp mình mấy bài này với ạ, này là 2 câu khó nhất trong bài về nhà của mình, ngày mốt là phải nộp rồi. Mình cảm ơn các bạn trước nhé.

Tìm hàm f: \(R\rightarrow R\)  thỏa mãn điều kiện

1. \(f\left(x^2+f\left(y\right)\right)=y+x.f\left(x\right),\forall x,y\in R\)

2. \(f\left(\left(x+1\right).f\left(y\right)\right)=f\left(y\right)+y.f\left(x\right),\forall x,y\in R\)

3. \(f\left(x^3+f\left(y\right)\right)=x^2f\left(x\right)+y,\forall x,y\in R\)

4. \(\hept{\begin{cases}f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\\f\left(xy\right)=f\left(x\right).f\left(y\right)\end{cases}},\forall x,y\in R\)

@Lê Minh Đức

Cho hàm số f: R\(\rightarrow\)R , \(n\ge2\)  là số nguyên . CMR: nếu 

\(\dfrac{f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}\ge f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\forall x,y\ge0\) (1) thì ta có :

\(\dfrac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+....+f\left(x_n\right)}{n}\ge f\left(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\right)\)           \(\forall x\ge0,i=\overline{l,n}\)