Áp dụng BĐT cosi:

\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)

Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)

\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)

Bạn tham khảo ở đây nhé

https://olm.vn/hoi-dap/detail/49527613309.html

Bạn tham khảo:

Bài ni hay lắm mn Cho 3 số a , b , c thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)       Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\lef... - Hoc24

Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-b-a+ab\ge0\Leftrightarrow1+ab\ge a+b\)(1)

Tiếp tục chứng minh ta được: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge c\\ab\ge0\end{matrix}\right.\)(2)

Cộng theo vế pt(1) với pt(2) ta được:

\(1+ab+1+ab\ge a+b+c+0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\ge a+b+c\)

Nên: \(\dfrac{c}{ab+1}=\dfrac{2c}{2\left(ab+1\right)}\le\dfrac{2c}{a+b+c}\)

Chứng minh tương tự suy ra đpcm

Câu hỏi của Phạm Quốc Anh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

\(0\le a\le1\Rightarrow a\left(1-a\right)\ge0\Rightarrow a^2\le a\)

Tương tự: \(b\left(1-b\right)\ge0\Rightarrow b^2\le b\) ; \(c\left(1-c\right)\ge0\Rightarrow c^2\le c\)

Cộng vế với vế:

\(a^2+b^2+c^2\le a+b+c=2\)

\(A_{max}=2\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị

Ta có: \(a\le b+1\le c+2\)

\(\Rightarrow a+b+1+c+2\le3.\left(c+2\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+3\le3c+6.\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow1+3\le3c+6\)

\(\Rightarrow4\le3c+6\)

\(\Rightarrow-2\le3c\)

\(\Rightarrow-\frac{2}{3}\le c.\)

Hay \(c\ge-\frac{2}{3}\)

Dấu " = " xảy ra khi:

\(c=-\frac{2}{3}.\)

Vậy \(MIN_c=-\frac{2}{3}.\)

Chúc bạn học tốt!

Vì:0≤a≤b+1≤c+2 nên 0≤a+b+1+c+2≤c+2+c+2+c+2

=>0≤4≤3c+6(vì a+b+c=1)

Hay 3c≥-2=>c≥-2/3.

Vậy GTNN của c là:-2/3 khi đó a+b=5/3.

giúp e vs thầy Nguyễn Việt Lâm,Băng Băng 2k6,HISINOMA KINIMADO,...

Do \(-1\le a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)+\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-abc-a-b-c+ab+bc+ca+1+abc+b+c+c+ab+bc+ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le2\)

Mà \(\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^4\le a^2\\b^6\le b^2\\c^8\le c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+b^6+c^8\le a^2+b^2+c^2\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;0;1\right)\) và các hoán vị

Sourse: Nâng cao & phát triển toán 9 ,phần BĐT. khá khó hiểu .