ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

Ta có:

\(\dfrac{mx-m-3}{x+1}=1\)

\(\Rightarrow mx-m-3=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=m+4\)

- Với \(m=1\) pt trở thành: \(0=5\) (ktm) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

- Với \(m=-\dfrac{3}{2}\) pt trở thành: 

\(-\dfrac{5}{2}x=\dfrac{5}{2}\Rightarrow x=-1\) (ktm ĐKXĐ) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

- Với \(m\ne\left\{-\dfrac{3}{2};1\right\}\Rightarrow x=\dfrac{m+4}{m-1}\)

Vậy:

- Với \(m=\left\{-\dfrac{3}{2};1\right\}\) pt vô nghiệm

- Với \(m\ne\left\{-\dfrac{3}{2};1\right\}\) pt có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{m+4}{m-1}\)

Điều kiện của bất phương trình là x ≥ 0

    Nếu m ≤ 1 thì m - 1 ≤ 0, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ≥ 0

    Nếu m > 1 thì m – 1 > 0, bất phương trình đã cho tương đương với √x ≤ 0 ⇔ x = 0

    Vậy: Nếu m ≤ 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là [0; +∞)

     Nếu m > 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là {0}

\(mx^2+\left(m+1\right)x-2m\le0\) (1)

Nếu \(m=0\) thì dễ thấy (1) có nghiệm \(x\le0\)

Xét \(m\ne0\) Khi đó (1) là bất phương trình bậc hai với a=m. 

Ngoài ra, biệt thức

\(\Delta=9m^2+2m+1=\left(3m+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}>0\)  \(\curlyvee m\in R\). Từ đó ta có ngay kết luận :

- Khi m < 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(x;\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)\(\cup\)\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};+\infty\right)\)

- Khi m = 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm T(1) =R+

- Khi m>0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1)=\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)

minh chịu thôi

Với \(m=0\)

\(PT\Leftrightarrow2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

Với \(m\ne0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m\left(m-3\right)=m+1\)

PT vô nghiệm \(\Leftrightarrow m+1< 0\Leftrightarrow m< -1\)

PT có nghiệm kép \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{b'}{a}=\dfrac{m-1}{2m}\)

PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1;m\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{m-1+\sqrt{m+1}}{m}\\x=\dfrac{m-1-\sqrt{m+1}}{m}\end{matrix}\right.\)

(mx-2)(2mx-x+1)=0

=>\(x^2\cdot2m^2-mx^2+mx-4mx+2x-2=0\)

=>\(x^2\left(2m^2-m\right)+x\left(-3m+2\right)-2=0\)

TH1: m=0

Phương trình sẽ trở thành: \(0x^2+x\cdot\left(-3\cdot0+2\right)-2=0\)

=>2x-2=0

=>x=1

TH2: m=1/2

Phương trình sẽ trở thành: \(0x^2+x\left(-3\cdot\dfrac{1}{2}+2\right)-2=0\)

=>1/2x-2=0

=>x=4

TH3: \(m\notin\left\{0;\dfrac{1}{2}\right\}\)

Phương trình sẽ là \(x^2\left(2m^2-m\right)+x\left(-3m+2\right)-2=0\)

\(\text{Δ}=\left(-3m+2\right)^2-4\left(2m^2-m\right)\cdot\left(-2\right)\)

\(=9m^2-12m+4+8\left(2m^2-m\right)\)

\(=9m^2-12m+4+16m^2-8m\)

\(=25m^2-20m+4=\left(5m-2\right)^2\)>=0 với mọi m

Phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt khi 5m-2<>0

=>m<>2/5

Phương trình sẽ có nghiệm kép khi 5m-2=0

=>\(m=\dfrac{2}{5}\)

\(\left(x+1\right)\left(mx-3\right)=0\)

\(TC:\)

\(\left(+\right)x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

\(\left(+\right)mx-3=0\left(1\right)\)

\(BL:\)

\(\left(-\right)Với:m=0\\ \left(1\right)\Leftrightarrow0x-3=0\\ \Rightarrow PTVN\)

 \(\left(-\right)Với:m\ne0\\ \left(1\right)\Leftrightarrow mx-3=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{m}\)

có: \(\left(x+1\right).\left(mx-3\right)=0\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\mx-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0-1=-1\\mx=0+3=3\end{matrix}\right.\) 

Có x= -1 nên mx = (-3).(-1) => m= -3

Vậy x=-1 và m = -3