Cho tam giác ABC có b-c=\(\dfrac{a}{2}\)
a, SinA=2sinB-2sinC
b, \(\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}-\dfrac{1}{h_c}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
\(\dfrac{h_b}{h_a^2}+\dfrac{h_c}{h_b^2}+\dfrac{h_a}{h_c^2}>\dfrac{1}{r}\)
\(\dfrac{h_b}{h_a^2}+\dfrac{h_c}{h_b^2}+\dfrac{h_a}{h_c^2}=\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{b}}{\dfrac{4S_{ABC}^2}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{c}}{\dfrac{4S^2_{ABC}}{b^2}}+\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{a}}{\dfrac{4S_{ABC}^2}{c^2}}\)
\(=\dfrac{a^2}{2bS_{ABC}}+\dfrac{b^2}{2cS_{ABC}}+\dfrac{c^2}{2aS_{ABC}}\)
\(=\dfrac{1}{2S_{ABC}}\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\)
\(\ge\dfrac{1}{2.\dfrac{a+b+c}{2}r}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{1}{r}\)
Hình như có dấu = chứ nhỉ
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(\Delta ABC\) có BC=a, CA=b, AB=c và các đường cao tương ứng là \(h_a,h_b,h_c\) .Chúng minh :\(\dfrac{1}{h_a+h_b}+\dfrac{1}{h_b+h_c}+\dfrac{1}{h_c+h_a}\le\dfrac{a+b+c}{4S}\) (S là diện tích)
\(\dfrac{a.h_a}{2}=S\Leftrightarrow a=\dfrac{2S}{h_a}\)
Tương tự:
\(b=\dfrac{2S}{h_b};c=\dfrac{2S}{h_c}\)
\(\dfrac{a+b+c}{4S}=\dfrac{\dfrac{2S}{h_a}+\dfrac{2S}{h_b}+\dfrac{2S}{h_c}}{4S}=\dfrac{2S\left(\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\right)}{4S}=\dfrac{\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}{2}\)
Tương đương:
\(\dfrac{1}{h_a+h_b}+\dfrac{1}{h_b+h_c}+\dfrac{1}{h_c+h_a}\le\dfrac{\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}{2}\)
Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{h_a+h_b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}\right)\)
\(\dfrac{1}{h_b+h_c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\right)\)
\(\dfrac{1}{h_c+h_a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{h_c}+\dfrac{1}{h_a}\right)\)
Cộng theo vế suy ra đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2.AC^2-\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2}\)
b) \(b+c=2a\Leftrightarrow\dfrac{2}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)
c) Góc A vuông \(\Leftrightarrow m_b^2+m_c^2=5m_a^2\)
Cho ΔABC, chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)
với \(h_a,h_b,h_c\) là các đường cao cỏn bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Tam giác ABC có \(b+c=2a\). Chứng minh rằng :
a) \(2\sin A=\sin B+\sin C\)
b) \(\dfrac{2}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)
Gọi ha , hb, hc là 3 đường cao của 1 tam giác. CMR: \(\dfrac{1}{h_a}< \dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)
a, Cho tam giác ABC nhọn. CMR:\(h_a+h_b+h_c\ge9r\) với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b, CM
\(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}+\dfrac{1}{m_c}\ge\dfrac{2}{R}\)
( \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trug tuyến ứng với cạnh a,b,c và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Gọi ha , hb, hc là 3 đường cao của 1 tam giác. CMR: \(\dfrac{1}{h_a}< \dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi \(h_A,h_B,h_C,h_D\) lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{h_A}+\dfrac{1}{h_B}+\dfrac{1}{h_C}+\dfrac{1}{h_D}=\dfrac{1}{r}\)
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện. Ta có :
\(V=V_{IBCD}+V_{ICDA}+V_{IDAB}+V_{IABC}\)
Đúng 0
Bình luận (0)