a: XétΔABH và ΔACH có 

AB=AC

AH chung

HB=HC

Do đó: ΔABH=ΔACH

XétΔABH và ΔACH có 

AB=AC

AH chung

HB=HC

Do đó: ΔABH=ΔACH

Bài 1:

Không mất tổng quát giả sử $AB< AC$

Gọi $AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$. Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BC}{CH}=\frac{AB+AC}{AC}$

Ta có:

$\frac{HN}{HC}=\frac{BN-BH}{HC}=\frac{BN}{HC}-\frac{BH}{HC}=\frac{BC}{2HC}-\frac{BH}{HC}=\frac{AB+AC}{2AC}-\frac{AB}{AC}$

$=\frac{AC-AB}{2AC}=\frac{AC-CD}{2AC}=\frac{AD}{2AC}=\frac{AM}{AC}$

Theo định lý Talet đảo suy ra $MN\parallel AH$

Ta có đpcm.

Hình vẽ 1:

2. 

Áp dụng định lý Menelaus với tam giác $AMC$ có $B,I,E$ thẳng hàng ta có:

$\frac{AE}{EC}.\frac{IM}{AI}.\frac{BC}{BM}=1$

$\Leftrightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{AI}{2IM}$

$\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AI}{AI+2IM}$

$\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AI+2IM}{AI}(1)$Lại áp dụng tính chất tia phân giác và định lý Talet:

$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}=\frac{CM+DM}{BD}=\frac{BM+DM}{BD}$

$=\frac{BM}{BD}+\frac{DM}{BD}=\frac{AM}{AI}+\frac{IM}{AI}=\frac{AM+IM}{AI}=\frac{AI+2IM}{AI}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AE}$

$\Rightarrow AB=AE$ (đpcm)

(Tự vẽ hình)

Do BM//NI, MN//BI nên MNIB là hình bình hành

=> BM=IN (2 cạnh đối) (1)

Trong tam giác ABC, do M trung điểm AB, MN//BC => N trung điểm AC (2)

Do MA=MB,NA=NC nên MN là đường trung bình tam giác ABC => MN=1/2 BC (4)

CMTT, ta có I trung điểm BC (3)

Vậy ta có tất cả đpcm

Hình: 

Lấy P trên đường thẳng MN  sao cho N là trung điểm của MP.

Xét tam giác AMN và tam giác CPN có : AN = CN (N là trung điểm của AC  )

                                                           MN = NP (N là trung điểm của MP )

                                                          góc ANM = góc CNP (đối đỉnh    )

==> tgiac AMN = tgiac CPN (c.g.c)

==>AM = CP và góc MAN = góc NCP 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AM // CP hay AB // CP ==> góc MBP = góc BPC (SLT)

Xét tgiac MPB và tgiac CPB có: BM = CP , góc MBP = góc BPC, BP chung

==> tgiac MPB = tgiac CPB (c.g.c) ==> MP = BC mà MN = 1/2 MP ==> MN = 1/2 BC

ta có góc MPB = góc PBC (2 góc tương ứng ) mà 2 góc này ở vị trí so le trong ==> MN // BC

a: Xét tứ giác BMNP có

BM//NP

NM//BP

Do đó: BMNP là hình bình hành

Xét ΔABC có

N là trung điểm của CA

NP//AB

Do đó: P là trung điểm của BC

b: Sửa đề; HB//AP

Xét ΔABC có

N là trung điểm của AC

NM//BC

Do đó: M là trung điểm của AB

Xét tứ giác AHBP có

M là trung điểm chung của AB và HP

=>AHBP là hình bình hành

hình dung hình vẽ nha bạn 

Trên tia đối tia NM lấy điểm P sao cho NM = NP

xét tg ANM và tg CNP có:

       MN  =  NP

       góc MNA = góc PNC (2 góc đối đỉnh)

       AN       =     NC  

=> tg ANM = tg CNP

=> góc AMN = góc CPN và MA = PC 

=> AM // PC và  MB = PC

nối PB ta có:

Xét tg BMP và tg PCM

   BM = PC

   BP : cạnh chung

   góc MBP = góc CPB (2 góc so le trong)

 => tg MBP = tg CPB

=>  MP = BC ; góc MPB = góc CBP mà MN = 1/2 PN  ;  góc CBP và góc MPB so le trong

=>  MN = 1/2 BC  ;  MP // BC

Vậy ......

CHÚC BẠN HỌC TỐT!

K MÌNH NHA

bn chờ đến 11h30 đc ko 

Hình vẽ : ( Xin lỗi ! Vẽ dở mới biết chưa học )

Bạn vé hình giống của ((Me)) nhé ..

a, AB=AC (gt)

 \(\Rightarrow\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\Rightarrow\hept{\begin{cases}AN=AM\\CM=BN\end{cases}}\)

Xét 2 \(\Delta ABM\)và \(\Delta CAN\)có:

góc A chung 

AB=AC(gt)

\(AN=AM\)( cmt)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

Xét 2 \(\Delta BMC\)Và \(\Delta CNB\)Có:

Cạnh BC chung

Góc \(ABC\)= góc \(ACB\)

\(BN=CM\)(Cmt)

\(\Rightarrow\Delta NBC=\Delta MCB\left(c.g.c\right)\)

Từ A Kẻ  \(AK\perp BC\)

\(\Rightarrow\)AK  là đường phân giác của \(\Delta ABC\)(Vì \(\Delta ABC\)Là tam giác cân )

\(\Rightarrow NAK=KAC\)

gọI O là gia điểm của hai đường chéo CF và BE 

Xét 2 \(\Delta ANO\)Và \(\Delta AMO\)Có :

Góc \(NAO\)= Góc \(MAO\)(Cmt)

Cạnh \(AO\)Chung 

\(AN=AM\)(Theo câu a)

\(\Rightarrow\Delta ANO=\Delta AMO\left(C.g.c\right)\)

\(\Rightarrow ANO=AMO\)(Cặp góc tương ứng )

Ta có : góc \(FNA+ANO=180^O\)(Cặp góc kề bù )

góc \(EMA+AMO=180^O\)(Cặp góc kề bù )

Mà góc \(ANO=AMO\)(Cmt)

\(\Rightarrow EMA=FNA\)

vÌ \(\Delta ABC\)Cân và N ,M lần lượt là trung điểm của AB,AC 

\(\Rightarrow CN=BM\)

\(\Rightarrow NF=ME\)

xÉT 2 \(\Delta AFN\)VÀ \(\Delta AEM\)có :

góc \(ANF=EMA\)(Cmt)

\(AM=AN\)(Cmt)

\(FN=ME\)(Cmt)

\(\Rightarrow\DeltaÀFN=\Delta AEM\left(C.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AF=AE\)(CẶP CẠNH TƯƠNG ỨNG )

\(\Rightarrow A\)Là trung điểm của EF

Lấy I là gia điểm của NM và AK 

Vì \(\Delta ABC\)là tam giác cân 

\(\Rightarrow AK\)\(\perp MN\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}MN\perp AK\\BC\perp AK\end{cases}}\Rightarrow MN\)// \(BC\)(Tính chất từ vuông góc đến song song)