a: Xét tứ giác AEHD có

\(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{D'E'C}\) là góc nội tiếp chắn cung D'C

\(\widehat{D'BC}\) là góc nội tiếp chắn cung D'C

Do đó: \(\widehat{D'E'C}=\widehat{D'BC}\left(1\right)\)

Ta có: BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DEC}=\widehat{DBC}\)

=>\(\widehat{HED}=\widehat{D'BC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HE'D'}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//D'E'

Kẻ tiếp tuyến Ax của (O')

=>Ax\(\perp\)OA tại A

Xét (O) có

\(\widehat{xAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\left(=180^0-\widehat{BED}\right)\)

nên \(\widehat{xAB}=\widehat{AED}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//ED

Ta có: Ax//ED

OA\(\perp\)Ax

Do đó: OA\(\perp\)ED

c: Xét (O) có

ΔABA' nội tiếp

A'A là đường kính

Do đó: ΔABA' vuông tại B

=>AB\(\perp\)BA'

Xét (O) có

ΔACA' nội tiếp

A'A là đường kính

Do đó: ΔACA' vuông tại C

=>AC\(\perp\)CA'

Ta có: AC\(\perp\)CA'

BH\(\perp\)AC

Do đó:  BH//A'C

Ta có: AB\(\perp\)BA'

CH\(\perp\)AB

Do đó: CH//BA'

Xét tứ giác BHCA' có

BH//CA'

BA'//CH

Do đó: BHCA' là hình bình hành

=>BC cắt HA' tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HA'

=>H,I,A' thẳng hàng

a) Ta thấy \(\widehat{AMN}=\widehat{ABH}+\frac{1}{2}\widehat{BHQ}=\widehat{ACH}+\frac{1}{2}\widehat{CHP}=\widehat{ANM}\). Suy ra \(\Delta AMN\) cân tại A.

b) Dễ thấy tứ giác BEFC và BQPC nội tiếp, suy ra \(\widehat{HEF}=\widehat{HCB}=\widehat{HPQ}\), suy ra EF || PQ

Hiển nhiên \(OA\perp PQ\). Do đó \(OA\perp EF.\)

c) Gọi MK cắt BH tại I, NK cắt CH tại J, HK cắt BC tại S.

Vì A,K là trung điểm hai cung MN của (AMN) nên AK là đường kính của (AMN)

Suy ra \(MK\perp AB,NK\perp AC\)hay MK || CH, NK || BH

Ta có \(\Delta BHQ~\Delta CHP\), theo định lí đường phân giác và Thales thì:

\(\frac{IH}{IB}=\frac{MQ}{MB}=\frac{NP}{NC}=\frac{JH}{JC}\). Suy ra IJ || BC

Cũng từ MK || CH, NK || BH suy ra HIKJ là hình bình hành hay HK chia đôi IJ

Do vậy HK chia đôi BC theo bổ đề hình thang. Vậy HK đi qua S cố định.