Bài 1:

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{2}=\frac{DC}{3}=\frac{BD+DC}{2+3}=\frac{BC}{5}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}\)

Kẻ \(DK//BE\left(K\in AC\right)\text{ ta có:}\)

\(\frac{AE}{EK}=\frac{AI}{ID}=2;\frac{EK}{EC}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}\)

Do đó:\(\frac{AE}{EK}\cdot\frac{EK}{EC}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{5}.2=\frac{4}{5}\)

b)\(\text{Ta có:}\)

\(\frac{AE}{EC}=\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{AE}{4}=\frac{EC}{5}=\frac{AE+EC}{4+5}=\frac{AC}{9}=\frac{18}{9}=2\)

\(\Rightarrow AE=8cm,EC=10cm\)

bn ơi bài 1 ý a)  chỉ có thể tính tỉ lệ thôi ko tính đc ra số hẳn đâu

a) Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên ⇔BDDC=23⇔BDDC=23

BD2=CD3=BD+CD2+3=BC5BD2=CD3=BD+CD2+3=BC5

AEEK=AIIDAEEK=AIID(Định lí Ta lét)

hay EKEC=BDBCEKEC=BDBC(Hệ quả của Định lí Ta lét)

hay AEEK⋅EKEC=AEECAEEK⋅EKEC=AEEC

AEEC=45AEEC=45(cmt)

nên AE4=EC5=AE+EC4+5=189=2AE4=EC5=AE+EC4+5=189=2

Do đó:

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=5^2+12^2=169\)

=>\(BC=\sqrt{169}=13\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BE là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CE}{CB}\)

=>\(\dfrac{AE}{5}=\dfrac{CE}{13}\)

mà AE+CE=AC=12

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AE}{5}=\dfrac{CE}{13}=\dfrac{AE+CE}{5+13}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(AE=5\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}\left(cm\right);CE=13\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{26}{3}\left(cm\right)\)

b: Kẻ IH\(\perp\)AC

=>IH là khoảng cách từ I xuống AC

IH\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: IH//AB

Xét ΔAEB có AI là phân giác

nên \(\dfrac{EI}{IB}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{10}{3}:5=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{EI}{EB}=\dfrac{2}{5}\)

Xét ΔEAB có HI//AB

nên \(\dfrac{HI}{AB}=\dfrac{EI}{EB}\)

=>\(\dfrac{HI}{5}=\dfrac{2}{5}\)

=>HI=2(cm)

c: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot5\cdot12}{5+12}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\simeq4,99\left(cm\right)\)

Tự vẽ hình.

a) Xét tam giác OAB có AB // CD

⇒AOOC=OBOD=ABDC⇒12OC=93=18DC⇒AOOC=OBOD=ABDC⇒12OC=93=18DC ( Hệ quả định lý Ta - lét ) (1)

=> OC = 4cm, DC = 6cm

Vậy OC = 4cm và DC = 6cm

b) Xét tam giác FAB có DC // AB

⇒FDAD=FCCB⇒FD.BC=FC.AD⇒FDAD=FCCB⇒FD.BC=FC.AD ( ĐPCM )

c) Theo (1), ta đã có:

OAOC=OBOD⇒OAOA+OC=OBOB+OD⇒OAAC=OBBDOAOC=OBOD⇒OAOA+OC=OBOB+OD⇒OAAC=OBBD (2)

Vì MN // AB mà AB // DC => MN // DC

Xét tam giác ADC có MO// DC

⇒MODC=AOAC⇒MODC=AOAC ( Hệ quả định lý Ta - lét ) (3)

CMTT : ONDC=OBDBONDC=OBDB (4)

Từ (2), (3) và (4) => MODC=NODC⇒MO=NOMODC=NODC⇒MO=NO ( ĐPCM )

-Qua D kẻ đường thẳng song song BI cắt AC tại F.

-Xét △ABC: AD là tia p/g của \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{10}{35}=\dfrac{2}{7}\)

-Có: \(AE=\dfrac{3}{4}AD\) (gt) ; \(AE+ED=AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}AD+ED=AD\)

\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{4}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{\dfrac{3}{4}AD}{\dfrac{1}{4}AD}=3\)

-Xét △AIF: EI//DF.

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{IF}=\dfrac{AE}{ED}=3\) (định lí Ta-let) (1) \(\Rightarrow IF=\dfrac{1}{3}AI\)

-Xét △IBC: DF//BI.

\(\Rightarrow\dfrac{IF}{CF}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{2}{7}\) (định lí Ta-let) (2)

-Từ (1), (2) suy ra:

\(\dfrac{AI}{IF}.\dfrac{IF}{CF}=3.\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{CF}=\dfrac{6}{7}\)

\(\Rightarrow CF=\dfrac{7}{6}AI\)

*\(AI+IF+CF=AC\)

\(\Rightarrow AI+\dfrac{7}{6}AI+\dfrac{1}{3}AI=35\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}AI=35\)

\(\Rightarrow AI=14\left(cm\right)\)