cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. tìm GTNN của \(S=\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)
Cho ba số thực không âm \(a;b;c\) và thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\left(a+b+1\right).\left(c+2\right)}+\sqrt{\left(b+c+1\right).\left(a+2\right)}+\sqrt{\left(c+a+1\right).\left(b+2\right)}\ge9\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn rất nhiều ạ!
\(\text{Cho a,b,c không âm thỏa mãn: a+b+c=1}\)
\(\text{Tìm GTNN của M}=3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
bạn có thể vào mục câu hỏi tương tự
http://olm.vn/hoi-dap/question/162856.html
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(a^2\cdot b^2+c^2\cdot b^2+1\le3b\)
Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{4\cdot b^2}{\left(1+2\cdot b\right)^2}+\frac{8}{\left(c+3\right)^2}\)
Bài 1: Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
Tìm GTNN \(P=\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\)
Bài 2: Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=2
Tìm GTNN \(Q=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho ba số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTLN của biểu thức \(K=\sqrt{12a+\left(b-c\right)^2}+\sqrt{12b+\left(a-c\right)^2}+\sqrt{12c+\left(a-b\right)^2}\)
\(K\le\Sigma\sqrt{12a+\left(b+c\right)^2}=\Sigma\sqrt{12a+\left(3-a\right)^2}=\Sigma\sqrt{\left(a+3\right)^2}=12\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0;c=3\) và các hoán vị
Cho ba số không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
Cách 1:Giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow1-3a\le0\)
Ta có:
\(P=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(=ab+bc+ca-3abc\)
\(=a\left(b+c\right)+bc\left(1-3a\right)\)
\(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}+0=\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=\frac{1}{2};c=0\)
Cách 2:
Ta sẽ đi chứng minh \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-12abc\le\Sigma a^3+3\Sigma a^2b+3\Sigma ab^2+6abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-18abc\)
Theo Schur thì \(a^3+b^3+c^3\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2+3abc\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-18abc\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\) tại a=b=1/2 ; c=0 và các hoán vị
Cách 3:
\(\frac{1}{4}-P=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4}-\Sigma a^2b-\Sigma ab^2\)
\(=\frac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3-\Sigma a^2b-\Sigma ab^2+3abc\right)+\frac{3}{4}abc\ge0\) ( đúng theo Schur )
Vậy \(P\le\frac{1}{4}\)
Nhớ không nhầm thì hình như trong này có 1 cách của tth_new nhé !
cho a,b,c>0 thỏa mãn \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=3\left(3-a^2\right)\). tìm GTNN của biểu thức \(T=a+b+c+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)
Ta có: \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=2b^2+2c^2+2bc\le2b^2+2c^2+b^2+c^2=3\left(b^2+c^2\right)\Rightarrow b^2+c^2\le3-a^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\).
Áp dụng bđt Schwars ta có:
\(T\ge a+b+c+\dfrac{18}{a+b+c}=\left(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{9}+\dfrac{9}{3}=9\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
cho a,b,c dương thỏa mãn \(\left(3a+2b\right)\left(3a+2c\right)=16bc\). tìm GTNN của \(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)
\(\left(3a+2b\right)\left(3a+2c\right)=16bc\Leftrightarrow\dfrac{3a+2b}{b}.\dfrac{3a+2c}{c}=16\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(3y+2\right)=16\) với \(x=\dfrac{a}{b};y=\dfrac{a}{c}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(16=\left(3x+2\right)\left(3y+2\right)\le\dfrac{\left(3x+3y+4\right)^2}{4}\Leftrightarrow x+y\le\dfrac{4}{3}\);
\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\dfrac{4}{9}\).
Ta có: \(P=\dfrac{a^2+2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+2=\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{x+y}{xy}=\left(\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{x+y}{9xy}\right)+\dfrac{8\left(x+y\right)}{9xy}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{x+y}.\dfrac{x+y}{9xy}}+\dfrac{8\left(x+y\right)}{\dfrac{9\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{32}{9\left(x+y\right)}\ge\dfrac{2}{3}+\dfrac{32}{12}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(3a=2b=2c>0\).
Vậy...
1.Cho a,b,c,dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTNN của P=a3+b3+1/4c3
2.Cho a,b,c ko âm thoả mãn a+b+c=1.CMR \(ab+bc+ca-2abc\le\frac{2}{27}\)
3.Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab=1.Tìm GTNN cảu biểu thức \(F=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13