Question

cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. tìm GTNN của \(S=\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)

Answer 1

Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số a², b², c² tồn tại 2 số cùng phía với 1.

Giả sử hai số đó là a² và b².

Ta có \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\ge3\left(a^2+b^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a^2+b^2+1\right)\left(1+1+c^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\) (Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz).

Mà a + b + c = 3 nên \(S\ge27\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy Min S = 27 khi a = b = c = 1.