Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dia fic

cho a,b không âm thỏa mãn \(\left(a-b\right)^2=a+b+2\)

CMR: \(\left(1+\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\left(1+\dfrac{b^3}{\left(a+1\right)^3}\right)\le9\)

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 1 2021 lúc 10:34

\(GT\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a^2+a+b^2+b=2\left(ab+a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)=2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+1}+\dfrac{b}{a+1}=2\)

Đặt \(\left(\dfrac{a}{b+1};\dfrac{b}{a+1}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y\ge0\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0\le xy\le1\)

\(P=\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)=1+x^3+y^3+x^3y^3\)

\(P=1+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(xy\right)^3\)

\(P=\left(xy\right)^3-6xy+9=xy\left[\left(xy\right)^2-6\right]+9\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(xy=0\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Học tốt
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
em ơi
Xem chi tiết
Dung Phạm
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết