Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng điểm đi qua B cắt (O) ở M và (O’) ở N (M và N khác B). Các tiếp tuyến tại M và N của hai đường tròn cắt nhau ở P. a) Tính MPN cho biết MAN . b) Chứng tỏ rằng: MNP vuông tại P o OAO 90 .
Cho tam giác ABC (AB<AC) nhọn nội tiếp (O).Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại G. Đường thẳng song song với BC đi qua A cắt (O) tại điểm thứ hai là S. SG cắt (O) tại điểm thứ hai là N. CMR: AN đi qua trung điểm của BC
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Kiến thức áp dụng
Trong một đường tròn:
+ Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.
+ Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Cho hai đường tròn (O;R) và (O'R') (R>R')tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O') tại M cắt đường tròn (O) tại hai điểm B,C. Đường thẳng BO' cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D và cắt đường thẳng AM tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE với AC. Chứng minh rằng DF là phân giác của góc BDC.
Gọi B', C' lần lượt là giao điểm khác A của AB, AC với (O').
Do BM, CM là tiếp tuyến của (O') nên ta dễ dàng chứng minh được:
\(BM^2=BA.BB'\); \(CM^2=CA.CC'\)
\(\Rightarrow\dfrac{BM^2}{CM^2}=\dfrac{BA.BB'}{CA.CC'}\). (1)
\(\Delta AOC\sim\Delta AO'C'(g.g)\Rightarrow \frac{AC}{AC'}=\frac{AO}{AO'}\).
Tương tự, \(\frac{AB}{AB'}=\frac{AO}{AO'}\).
Do đó \(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BB'}{CC'}\). (2)
Từ (1), (2) suy ra \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}\).
Theo tính chất đường phân giác đảo thì AM là đường phân giác ngoài của tam giác ABC
\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=180^o\Rightarrow180^o+\widehat{BAC}=2\widehat{EAC}\)
\(\Rightarrow180^o-\widehat{EAC}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\). (3)
Các tứ giác FDEA, DBAC nội tiếp nên \(\widehat{FDB}=180^o-\widehat{EAC};\widehat{BDC}=180^o-\widehat{BAC}\). (4)
Từ (3), (4) suy ra \(\widehat{FDB}=\dfrac{\widehat{BDC}}{2}\) nên DF là phân giác góc BDC.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Nối AB. Ta có: 
= 
(1)
( cùng chắn cung và có số đo bằng 
sđ
)
= 
(2)
(cùng chắn cung nhỏ 
và có số đo bằng sđ
)
TỪ (1) và (2) có = từ đó AQ // Px (có hai góc so le trong bằng nhau)
Cho hai đường tròn (O) và )(O') cắt nhau tại A và B. Vẽ AC,AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O')
a) Cm C,B,D thẳng hàng
b) Đường thẳng AC cắt (O') tại E, AD cắt (O) tại F (E,F khác A). Chứng minh 4 điểm C,D,E,F cùng thuộc 1 đường tròn
c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O') thứ tự tại M và N . Xác định trí của d để CM+DN đạt giá trị lớn nhất
Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm). MO cắt AB tại H. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M nhưng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm N, P (N nằm giữa M và P). Gọi I là trung điểm của NP.
a) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MO và cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh 
và AD là đường kính của (O).
c) Tiếp tuyến của (O) tại N và P cắt nhau tại F. Chứng minh 
đồng dạng 
và điểm F chuyển động trên một đường thẳng cố định khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài.
Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi .
OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh
1. Cho các đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc trong với nhau tại A(R>R'). Vẽ đường kính AB của (O) , AB cắt (O') tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O'), BP cắt (O) tại Q. Đường thẳng AP cắt (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh:
a) AP là phân giác của góc BAQ
b) CP và BR song song với nhau
2. Cho đường tròn (O;R) vơi SA là điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O). gọi I là trung điểm MA, K là giao điểm của BI với (O)
a) Chứng minh các tam giác IKA và IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB
b) Giả sử MK cắt (O) tại C. Chứng minh BC song song MA
3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau.
4.Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K ,H theo thứ tự là giao điểm của NC,MC và EF. Gọi G là giao điểm của EM ,FN. Chứng minh:
a) Các tam giác GMN và DMN bằng nhau
b) GD là đường trung trực của KH
Làm ơn giúp mình với !!! Chút nữa là mình đi học rồi !!!! Cảm ơn trước !!!
