Theo đề: \(x,y>0;\dfrac{m}{x}< \dfrac{n}{y}\) 

Ta có: 

\(\dfrac{m}{x}< \dfrac{n}{y}\)

\(\Rightarrow my< nx\)

Công 2 vế cho \(xm\) ta có:

\(\Rightarrow my+xm< nx+xm\)

\(\Rightarrow m\left(x+y\right)< x\left(m+n\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{x}< \dfrac{m+n}{x+y}\) (1)

Ta có:

\(\dfrac{m}{x}< \dfrac{n}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{n}{y}>\dfrac{m}{x}\)

\(\Rightarrow nx>my\)

Cộng 2 vế cho \(ny\) ta có:

\(\Rightarrow nx+ny>my+ny\)

\(\Rightarrow n\left(x+y\right)>y\left(m+n\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{n}{y}>\dfrac{m+n}{x+y}\) (2) 

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\dfrac{m}{x}< \dfrac{m+n}{x+y}< \dfrac{n}{y}\) (đpcm) 

Em tham khảo:

Câu b hơi dài 1 chút:

Ý nghĩa trong câu nói của ông giáo:
- Khi nghe Binh Tư cho biết lão Hạc xin bã chó để bắt một con chó thường xuyên vào vườn nhà lão thì ông giáo cảm thấy cuộc đời thật đáng buồn. Ông giáo đã biết đến Lão Hạc là một người nhân hậu, không tham lam, không muốn làm phiền người khác, một người đã khóc vì trót lừa một con chó mà nay lại đi xin bả chó để trộm chó của người khác. Hành động này khiến lão Hạc từ một người lương thiện, có tự trọng trở thành người bất lương. Lão Hạc chẳng khác nào Binh Tư và cuộc đời này cũng lắm người cướp giật của người khác. Để có cái ăn, con người, ngay cả người lương thiện cũng không từ một thủ đoạn nào nên cuộc đời này quả thật đáng buồn.
- Nhưng khi chứng kiến cái chết đau đớn của lão Hạc, ông giáo biết được chân tướng của sự việc thì suy nghĩ của ông giáo lại khác. Cái đáng buồn trước đây ông giáo nghĩ đã không xảy ra, xã hội vẫn còn những con người chịu chết vinh còn hơn sống nhục. Đó thật sự là niềm vui lớn đối với ông giáo. Nhưng cái buồn khác của ông giáo chính là bi kịch của lão Hạc. Một con người nhân hậu, lương thiện lại rơi vào một tình cảnh không lối thoát, đến khi chết còn bị hành hạ đau đớn. Chết nhưng không được chết một cách thanh thản. Bi kịch của lão Hạc chính là bi kịch chung của đại đa số nông dân Việt Nam thời kì đó. Quả đúng là: Cuộc đời chưa hẳn đã đáng buồn, hay vẫn đáng buồn nhưng lại đáng buồn theo một nghĩa khác.

c, Vì lão không muốn liên lụy và tha hóa, qua cái chết đó, cho thấy 1 cái tâm tốt đẹp, thiện lương của lão