a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

un =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Dễ dàng nhận ra dãy đã cho là dãy dương.

 \(\Rightarrow u_1u_2...u_{n-1}>0\Rightarrow u_n>1\) ;\(\forall x>1\)

\(\Rightarrow u_1u_2...u_{n-1}>1\)

Ta có:

\(u_{n+1}-u_n=1+u_1u_2...u_n-u_n=1+u_n\left(u_1u_2...u_{n-1}\right)>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Lời giải:

Ta có:

\((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})U_n=\frac{2}{2n+1}\)

\(\Rightarrow U_n=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2n+1}\)

\(=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)+n}<\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2\sqrt{n(n+1)}}\) (áp dụng bđt am-gm thì \((n+1)+n\geq 2\sqrt{n(n+1)}\), dấu bằng không xảy ra vì \(n\neq n+1\))

hay \(U_n< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Do đó:
\(U_1+U_2+...+U_{2010}< \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}\)

\(\Leftrightarrow U_1+U_2+..+U_{2010}< 1-\frac{1}{\sqrt{2011}}< \frac{1005}{1006}\)

Ta có đpcm.

 Dễ thấy \(u_n>0,\forall n\inℕ^∗\). 

 Ta có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2+2021}{2u_n}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}\)

 Với \(n\ge2\) thì \(u_n=\dfrac{u_{n-1}^2+2021}{2u_{n-1}}\) \(=\dfrac{u_{n-1}}{2}+\dfrac{2021}{2u_{n-1}}\) \(>2\sqrt{\dfrac{u_{n-1}}{2}.\dfrac{2021}{2u_{n-1}}}\) \(=\sqrt{2021}\)

Vậy \(u_n>\sqrt{2021},\forall n\ge2\), suy ra \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}< 0,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\) Dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy giảm. Mà \(u_n>\sqrt{2021}\)  \(\Rightarrow\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Đặt \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=L\) \(\Rightarrow L=\dfrac{L^2+2021}{2L}\) \(\Leftrightarrow L=\sqrt{2021}\)

 Vậy \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\sqrt{2021}\)

Dễ thấy $u^n>0,\forall n\in N^{\ast }$. 

 Ta có $u^{n+1}-u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^n+2021}{2u^n}-u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{2021-u^n}{2u^n}$

 Với $n\ge 2$ thì $u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^{n-1}+2021}{2u^{n-1}}$ $=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^{n-1}}{2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2021}{2u^{n-1}}$ $>2\sqrt{\genfrac{}{}{0ex}{}{u^{n-1}}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{2021}{2u^{n-1}}}$ $=\sqrt{2021}$

Vậy $u^n>\sqrt{2021},\forall n\ge 2$, suy ra $u^{n+1}-u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{2021-u^n}{2u^n}<0,\forall n\in N^{\ast }$

$\Rightarrow$ Dãy $\left(u^n\right)$ là dãy giảm. Mà $u^n>\sqrt{2021}$  $\Rightarrow \left(u^n\right)$ có giới hạn hữu hạn. Đặt $\stackrel{\lim }{n\to +\infty }{u}^n=L$ $\Rightarrow L=\genfrac{}{}{0ex}{}{L^2+2021}{2L}$ $\iff L=\sqrt{2021}$

 Vậy $\stackrel{\lim }{n\to +\infty }{u}^n=\sqrt{2021}$
 

lim(n =) + ∞) u_n = \(\sqrt{2021}\) 

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2;

u2 = 2u1 – 1 = 3;

u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9;

u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta chứng minh: uk+1 = 2k + 1. Thật vậy, ta có:

⇒ uk+1 = 2.uk – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.