chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x,y là các số thực bất kì khác không: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Những câu hỏi liên quan
chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x,y và x,y #0
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left[\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2\right]\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) ( đúng )
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y\)
Đúng 0
Bình luận (0)
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG: Dùng AM-GM cũng được mà
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2}+1\ge2.\frac{x}{y}\\\frac{y^2}{x^2}+1\ge2.\frac{y}{x}\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\end{matrix}\right.\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1+2\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\)
Có: \(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\left(2-3\right)+2\ge2.\left(-1\right)+2=0\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng:
\(\frac{\left|x\right|}{2008+\left|x\right|}+\frac{\left|y\right|}{2008+\left|y\right|}\ge\frac{\left|x-y\right|}{2008+\left|x-y\right|}\) với bất kì các số x,y nào
Đinh Tuấn Việt. help
Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :left(x+sqrt{x^2+2011}right)timesleft(y+sqrt{y^2+2011}right)2011TÌm x+y .Bài 2 : Cho x0,y0 và x+yge6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P3x+2y+frac{6}{x}+frac{8}{y}Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :hept{begin{cases}x+a++b+c7x^2+a^2+b^2+c^213end{cases}}TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :1 frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+frac{c}{c+a} 2Bài 5: Cho x,y l...
Đọc tiếp
Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :
\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .
Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :
\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .
Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Bài 5: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :(x+y)2+7.(x+y)+y2+10=0 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
Bài 7 : CHo các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\times\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho
đăng từng này thì ai làm cho
We have \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^4+2x^2+1+1}{x^2+1}\)
\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2+1}{x^2+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+1}}=2\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=0\))
Vậy \(P_{min}=2\Leftrightarrow x=0\)
Xem thêm câu trả lời
11 tháng 2 2020 lúc 11:28
Cho mình hỏi dấu bằng của bất đẳng thức này xảy ra khi nào vậy các bạn ?
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) với x , y > 0 .
Day la bdt Svacso dau bang xay ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Quy đồng full
\(\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge\left(a^2+2ab+b^2\right)xy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
lun đúng
gọi m là giá trị nhỏ nhất trong 3 số : \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\). chứng minh bất đẳng thức: \(M\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
giải chi tiết giúp mk nha cảm ơn nhiều ^^
Bài 1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh các bất đẳng thức:sqrt{frac{a}{b+c}}+sqrt{frac{b}{a+c}}+sqrt{frac{c}{a+b}}2 ( dùng cô -si )bài 2( dùng định nghĩa )1) Cho abc1 và a^336Chứng minh rằng frac{a^2}{3}+b^2+c^2ab+bc+ca2) Chứng minh rằng a) x^4+y^4+z^4+1ge2xleft(xy^2-x+z+1right)b) Với mọi số thực a,b,c ta có: a^2+5b^2-4ab+2a-6b+30c) a^2+2b^2-2ab+2a-4b+2ge0
Đọc tiếp
Bài 1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
( dùng cô -si )
bài 2( dùng định nghĩa )
1) Cho abc=1 và \(a^3>36\)Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)
2) Chứng minh rằng a) \(x^4+y^4+z^4+1\ge2x\left(xy^2-x+z+1\right)\)
b) Với mọi số thực a,b,c ta có: \(a^2+5b^2-4ab+2a-6b+3>0\)
c) \(a^2+2b^2-2ab+2a-4b+2\ge0\)
Tiện tay chém trước vài bài dễ.
Bài 1:
\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)
Bài 2:
1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn
2)
c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1
2b) \(VT=\left(a-2b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2+1\ge1>0\)
Có đpcm
Ồ bài 2 a mới sửa đề ak:)
Xem thêm câu trả lời
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn \(ab+bc+ca+abc=4\) . Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{b}{a^2+2b}+\frac{c}{b^2+2c}+\frac{a}{c^2+2a}\le1\)
Với điều kiện \(ab+bc+ca+abc=4\) thì \(VP-VT=\frac{bc^2\left(a-b\right)^2+ca^2\left(b-c\right)^2+ab^2\left(c-a\right)^2}{\left(a^2+2b\right)\left(b^2+2c\right)\left(c^2+2a\right)}\ge0\)
Cauchy ngược dấu + Svacxo + gt coi
1/Cho các số thực dương. Chứng minh:ax+by+cz+2sqrt{left(ab+bc+caright)left(xy+yz+zxright)}leleft(a+b+cright)left(x+y+zright)2/Cho 3 số thực tùy ý.Chứng minh: 2left(x+y+zright)left(x^2+y^2+z^2right)le4xyz+left(x^2+y^2+z^2right)^{frac{3}{2}}3/ Với các số thực dương. Chứng minh : frac{a}{sqrt{a^2+8bc}}+frac{b}{sqrt{b^2+8ca}}+frac{c}{sqrt{c^2+8ab}}ge14/ Với cácsố thực dương thỏa abc1.Chứng minh:left(1+frac{2x}{y}right)left(1+frac{2y}{z}right)left(1+frac{2z}{x}right)geleft(2+xright)le...
Đọc tiếp
1/Cho các số thực dương. Chứng minh:\(ax+by+cz+2\sqrt{\left(ab+bc+ca\right)\left(xy+yz+zx\right)}\le\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\)
2/Cho 3 số thực tùy ý.Chứng minh: \(2\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\le4xyz+\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}\)
3/ Với các số thực dương. Chứng minh : \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)
4/ Với cácsố thực dương thỏa abc=1.Chứng minh:\(\left(1+\frac{2x}{y}\right)\left(1+\frac{2y}{z}\right)\left(1+\frac{2z}{x}\right)\ge\left(2+x\right)\left(2+y\right)\left(2+z\right)\)
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z là số thực dương thoả mãn \(x+y+z=1\) . Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2+5yz}+\frac{y^2}{\left(z+x\right)^2+5xz}-\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
câu nào cx ghi là lớp 8 nhưng thực ra lớp 9 cx k nổi vc
Đúng 0
Bình luận (3)
