Question

chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x,y là các số thực bất kì khác không: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Answer 1

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) <=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 - 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

Vì \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\)

và \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 2\)

nên BĐT tương đương 2+ 4- 3x2 \(\ge 0\)

<=> 0\(\ge 0\)

Dấu = xảy ra khi x=y

 

Answer 2

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\) ta có \(lal=l\frac{x}{y}+\frac{y}{x}l=l\frac{x}{y}l+l\frac{y}{x}l\ge2\) ( cô - si )

=> \(a\ge2ora\le-2\)

 BĐT <=> \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\ge2\) => \(a-1>a-2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\le-2\Rightarrow a-2\le0;a-1\le0\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\)

Vậy BĐT trên luôn đúng