a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM) 

*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2  >= 0 ;  x^2  +xy +y^2 > 0

mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé

ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

<=> \(x^2+y^2\ge2xy\)

<=>\(x^2+y^2+2xy\ge4xy\)

<=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

<=>\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Dễ dàng chứng minh được:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)

Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)

Chứng mih tương tự, ta được;

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)

Từ (3), (4), (5), ta được:

\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:

\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)

Từ (2) và (6), ta được:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{x+\sqrt{yz}}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{4}}=x\)

Tượng tự ta có : \(\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{y+\sqrt{xz}}{4}\ge y\)

\(\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế của BĐT ta được : 

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}+\frac{x+\sqrt{yz}}{4}+\frac{y+\sqrt{xz}}{4}+\frac{z+\sqrt{xy}}{4}\ge x+y+z\)

\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{4}\)

mà \(\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)

\(VT\ge\frac{4\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)}{4}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\)

mà \(x+y+z\ge3\)hay \(VT\ge=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> x = y = z = 1

Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)

\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)

\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)

từ đó ta có đpcm

\(\frac{2}{x^2+y^2+y^2+1+2}\le\frac{2}{2xy+2y+2}=\frac{1}{xy+y+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Bài 2: 

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)