cho 3 số a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2\) Tìm Max P=abc
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=2017\)
Tìm max \(P=\dfrac{1}{2a+3b+3c}+\dfrac{1}{3a+2b+3c}+\dfrac{1}{3a+3b+2c}\)
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3.
Tìm Max của: \(A=\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+3}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ac\right)}\)
Nhờ các bạn Giúp mk với ạ Mk xin cảm ơn
Đặt ab + bc + ca = q; abc = r. Ta có:
\(A=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+27}{abc+3\left(ab+bc+ca\right)+9\left(a+b+c\right)+27}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(A=\dfrac{q+33}{r+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\).
Theo bất đẳng thức Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\Leftrightarrow r\ge\dfrac{4q-1}{9}\).
Từ đó \(A\le\dfrac{q+33}{\dfrac{4q-1}{9}+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{27q^2+860q-323}{93q^2+969q}\)
\(\Rightarrow A+\dfrac{1}{10}=\dfrac{\left(3q-1\right)\left(121q+3230\right)}{30q\left(31q+323\right)}\le0\). (Do \(q=ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\))
\(\Rightarrow A\leq \frac{-1}{10}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : abc=1
chứng minh: \(\dfrac{1}{ab+a}+\dfrac{1}{bc+b}+\dfrac{1}{ca+c}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm min \(P=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)
Đây là bài sử dụng Cô-si ngược dấu đặc trưng:
\(\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2}\);
\(\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)
Cộng vế:
\(P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2017}{2017+b}+\dfrac{2018}{2018+c}\le1\). Tìm GTNN của \(P=abc\)
\(1-\dfrac{1}{1+a}\ge\dfrac{2017}{b+2017}+\dfrac{2018}{c+2018}\ge2\sqrt{\dfrac{2017.2018}{\left(b+2017\right)\left(c+2018\right)}}\)
\(1-\dfrac{2017}{b+2017}\ge\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2018}{b+2018}\ge2\sqrt{\dfrac{2018}{\left(1+a\right)\left(b+2018\right)}}\)
\(1-\dfrac{2018}{c+2018}\ge\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2017}{b+2017}\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{\left(1+a\right)\left(b+2017\right)}}\)
Nhân vế:
\(\dfrac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+2017\right)\left(c+2018\right)}\ge\dfrac{8.2017.2018}{\left(a+1\right)\left(b+2017\right)\left(c+2018\right)}\)
\(\Rightarrow abc\ge8.2017.2018\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\ge\dfrac{1}{2}\)
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz\left(xy+y+1\right)}+\dfrac{x}{x\left(yz+z+1\right)}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x.xyz+xyz+xz}+\dfrac{x}{xyz+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x+1+xz}+\dfrac{x}{1+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(3a+b\le1\). Tìm Min của \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm Max \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)
3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\). Tìm Max \(A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}\)
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 .Chứng minh rằng
\(\dfrac{a+1}{a^4}+\dfrac{b+1}{b^4}+\dfrac{c+1}{4}\) ≥ \(\dfrac{3}{4}\)(a + 1)(b + 1)(c + 1)
Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai
Chia 2 vế cho \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{b^4\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{c^4\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)
\(\dfrac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{x^4}{\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{x^4yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=\dfrac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Do đó BĐT trở thành:
\(\dfrac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{y^3}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
Một bài toán quen thuộc
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2+a}\)+\(\dfrac{1}{2+b}\)+\(\dfrac{1}{2+c}\)≤ 1
\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)
Điều này đúng do:
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)