Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\)= \(\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{a-b}\)= \(\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}\)= (a -b) + \(\frac{2ab}{a-b}\)

Vì a>b>0 nên áp dụng BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :

(a - b) +\(\frac{2ab}{a-b}\)\(\ge\)\(2\sqrt{\left(a-b\right)\cdot\frac{2ab}{a-b}}\)= 2\(\sqrt{2ab}\)= \(2\sqrt{2}\)( Vì ab = 1) ( đpcm)

\(VT=\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\frac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\left(a-b\right).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Áp dụng giả thiết \(ab=1\) và bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(a-b\right)}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a-b=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$

Ta có đpcm.

Bài 2: 

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)